九州大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)e^x,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(x+2)e^x\mathrm{.}$$$x\geqq 0$ では $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。接線との差を$$h(x)=f(x)-g(x)$$とおく。接点の性質から$$h(p)=0,h^{\mathrm{\prime }}(p)=0,$$また $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。したがって $h^{\mathrm{\prime }}(x)$ は単調に増加し、$x<p$ で負、$x>p$ で正となる。よって $h(x)$ は $x=p$ で最小値0をとり、$$f(x)\geqq g(x)(x\geqq 0)$$が成り立つ。

(2)

接線は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(x)}& {\displaystyle =f(p)+f^{\mathrm{\prime }}(p)(x-p)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^p\{(p+1)x-p^2\}}\end{array}$$である。(1)より面積は$$S(p)={\int }_0^L\{f(x)-g(x)\}dx\mathrm{.}$$$f$ の定積分は $p$ によらない定数なので、これを $C$ と書く。まず $x$ について積分すると$$S(p)=C-e^p\{{\displaystyle \frac{p+1}{2}}{L}^2-p^{2}L\}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^{\mathrm{\prime }}(p)}& {\displaystyle =-e^p\{{\displaystyle \frac{p+1}{2}}{L}^2-p^{2}L+{\displaystyle \frac{1}{2}}{L}^2-2pL\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{L}{2}}{e}^p(p+2)(2p-L)\mathrm{.}}\end{array}$$$L>0$、$p\geqq 0$ では $L{e}^p(p+2)\mathrm{/}2>0$ だから、$S^{\mathrm{\prime }}(p)$ の符号は $2p-L$ の符号と一致する。よって $S(p)$ は$$0\leqq p<{\displaystyle \frac{L}{2}}$$で減少し、$$p>{\displaystyle \frac{L}{2}}$$で増加する。したがって最小値を与えるのは$$p={\displaystyle \frac{L}{2}}$$である。

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ なので、曲線はどの接線よりも上側にある。面積は差 $f-g$ の定積分で表せる。