九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第4問

(1)

曲線$y=x^2$の$x=u$における接線は $y=2ux-u^2$ である．したがって，Pにおける接線は $y=2ax-a^2$ であり，Qにおける接線は $y=2bx-b^2$ である．交点Rでは $2ax-a^2=2bx-b^2$ である．$a\mathrm{\ne }b$より $2(a-b)x=(a-b)(a+b)$ だから $$x={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$$ である．これを$y=2ax-a^2$に代入して $y=a(a+b)-a^2=ab$ を得る．よって $R({\displaystyle \frac{a+b}{2}},ab)$ である．

次に三角形PRQの面積を求める．$d=b-a>0$とおくと$$\overrightarrow{RP}=(-{\displaystyle \frac{d}{2}},-ad),\overrightarrow{RQ}=({\displaystyle \frac{d}{2}},bd)$$である．したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [\mathrm{△}PRQ]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid (-{\displaystyle \frac{d}{2}})bd-(-ad){\displaystyle \frac{d}{2}}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid -{\displaystyle \frac{b{d}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{a{d}^2}{2}}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{(b-a)d^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{d^3}{4}}}\end{array}$$である．よって $$[\mathrm{△}PRQ]={\displaystyle \frac{(b-a{)}^3}{4}}$$ である．

(2)

平行四辺形PRQSでは，対角の頂点Sは $S=P+Q-R$ である．よって$$S=(a+b-{\displaystyle \frac{a+b}{2}},a^2+b^2-ab)=({\displaystyle \frac{a+b}{2}},a^2-ab+b^2)$$である．

直線PSの傾きは $${\displaystyle \frac{a^2-ab+b^2-a^2}{{\displaystyle \frac{a+b}{2}}-a}}={\displaystyle \frac{b(b-a)}{(b-a)\mathrm{/}2}}=2b$$ だから，その方程式は $$y=a^2+2b(x-a)=a^2-2ab+2bx$$ である．同様に，直線SQの傾きは$2a$であり，方程式は $$y=b^2+2a(x-b)=b^2-2ab+2ax$$ である．

したがって求める面積は，折れ線PSQと放物線$y=x^2$との差を積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_a^{(a+b)\mathrm{/}2}(a^2-2ab+2bx-x^2)dx+{\int }_{(a+b)\mathrm{/}2}^b(b^2-2ab+2ax-x^2)dx}\end{array}$$である．ここで$d=b-a$とし，第1の積分で$x=a+u$とおくと，$0\leqq u\leqq d\mathrm{/}2$で $$a^2-2ab+2b(a+u)-(a+u{)}^2=2du-u^2$$ となる．よって第1の積分は$${\int }_0^{d\mathrm{/}2}(2du-u^2)du={[d{u}^2-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_0^{d\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{d^3}{4}}-{\displaystyle \frac{d^3}{24}}={\displaystyle \frac{5d^3}{24}}$$である．第2の積分も対称に同じ値になるので，求める面積は $$2\cdot {\displaystyle \frac{5d^3}{24}}={\displaystyle \frac{5d^3}{12}}$$ である．したがって ${\displaystyle \frac{5(b-a{)}^3}{12}}$ である．

(3) $\mathrm{\angle }PRQ={90}^{\circ }$は $$\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}=0$$ と同値である．(1)で用いた表示から$$\overrightarrow{RP}=(-{\displaystyle \frac{d}{2}},-ad),\overrightarrow{RQ}=({\displaystyle \frac{d}{2}},bd)$$なので$$\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}=-{\displaystyle \frac{d^2}{4}}-ab{d}^2=-d^2(ab+{\displaystyle \frac{1}{4}})$$である．$d>0$より，直角条件は $ab=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である． $a<0<b$なので$u=-a>0$とおくと $$b={\displaystyle \frac{1}{4u}}$$ である．したがって $b-a=b+u=u+{\displaystyle \frac{1}{4u}}$ である．相加相乗平均より $$u+{\displaystyle \frac{1}{4u}}\geqq 2\sqrt{u\cdot {\displaystyle \frac{1}{4u}}}=1$$ であり，等号は$u=1\mathrm{/}2$，すなわち$a=-1\mathrm{/}2,b=1\mathrm{/}2$のとき成り立つ．

(2) の面積は$5(b-a{)}^3\mathrm{/}12$であり，$b-a\geqq 1$だから最小値は ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ である．

放物線・2本の接線・折れ線 $PSQ$

接点の中点と半差 $m=(a+b)\mathrm{/}2,h=(b-a)\mathrm{/}2$ を導入する．接線の交点と三角形面積を $m,h$ で対称に表し，折れ線と放物線の差も中央 $x=m$ の左右で積分する．直角条件は $4(h^2-m^2)=1$ となるため，面積最小化が $h\geqq 1\mathrm{/}2$ に直結する．

$$m={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$$，$$h={\displaystyle \frac{b-a}{2}}>0$$ とおく．このとき$$a=m-h,b=m+h\mathrm{.}$$(1)

接線の交点は$$R(m,ab)=R(m,m^2-h^2)$$である．また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{RP}}& {\displaystyle =(-h,2h(h-m)),}\\ {\displaystyle \overrightarrow{RQ}}& {\displaystyle =(h,2h(h+m))\mathrm{.}}\end{array}$$したがって行列式の絶対値は$$\mid (-h)2h(h+m)-h2h(h-m)\mid =4h^3$$であり，$$[\mathrm{△}PRQ]=2h^3={\displaystyle \frac{(b-a{)}^3}{4}}\mathrm{.}$$(2)

平行四辺形の第4頂点は$$S=P+Q-R=(m,m^2+3h^2)$$である．$\xi =x-m$ とおく．左半分 $-h\leqq \xi \leqq 0$ で，直線 $PS$ と放物線の差は$$-{\xi }^2+2h\xi +3h^2$$となる．右半分は対称なので，求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2{\int }_{-h}^0(-{\xi }^2+2h\xi +3h^2)d\xi }& {\displaystyle =2\cdot {\displaystyle \frac{5}{3}}{h}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{10}{3}}{h}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{12}}(b-a{)}^3\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

直角条件は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}}& {\displaystyle =-h^2+4h^2(h-m)(h+m)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =h^2\{4(h^2-m^2)-1\}=0.}\end{array}$$$h>0$ だから$$h^2=m^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$よって $h\geqq 1\mathrm{/}2$，すなわち $b-a=2h\geqq 1$ である．等号は $m=0,h=1\mathrm{/}2$，つまり$$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}},b={\displaystyle \frac{1}{2}}$$のときに実現する．したがって面積の最小値は$${\displaystyle \frac{5}{12}}$$である．