九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第5問

(1)

点Pは曲線$y=e^x$上を動くので $y(t)=e^{x(t)}$ である．これをtで微分すると $${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=e^x{\displaystyle \frac{dx}{dt}}$$ である．したがって速度ベクトルは$$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{dx}{dt}},e^x{\displaystyle \frac{dx}{dt}})={\displaystyle \frac{dx}{dt}}(1,e^x)$$である．

速さが1であるから $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{v}{\mathrm{\mid }}^2={\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2(1+e^{2x})=1$$ である．また$dx\mathrm{/}dt>0$より $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}}$$ である．したがって $$\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}}(1,e^x)$$ である．Pが$(s,e^s)$を通過する時刻では$x=s$なので $$\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+e^{2s}}}}(1,e^s)$$ である．

(2)

速度ベクトルをxの関数として$$\overrightarrow{v}(x)=((1+e^{2x}{)}^{-1\mathrm{/}2},e^x(1+e^{2x}{)}^{-1\mathrm{/}2})$$と見る．時刻微分は $${\displaystyle \frac{d}{dt}}={\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{d}{dx}}$$ であり，$dx\mathrm{/}dt=(1+e^{2x}{)}^{-1\mathrm{/}2}$である．

第1成分について $${\displaystyle \frac{d}{dx}}(1+e^{2x}{)}^{-1\mathrm{/}2}=-e^{2x}(1+e^{2x}{)}^{-3\mathrm{/}2}$$ だから，時刻微分すると$$-e^{2x}(1+e^{2x}{)}^{-3\mathrm{/}2}\cdot (1+e^{2x}{)}^{-1\mathrm{/}2}=-{\displaystyle \frac{e^{2x}}{(1+e^{2x}{)}^2}}$$である．

第2成分について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}\{e^x(1+e^{2x}{)}^{-1\mathrm{/}2}\}}& {\displaystyle =e^x(1+e^{2x}{)}^{-1\mathrm{/}2}-e^x{e}^{2x}(1+e^{2x}{)}^{-3\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^x(1+e^{2x}{)}^{-3\mathrm{/}2}}\end{array}$$である．これに$dx\mathrm{/}dt=(1+e^{2x}{)}^{-1\mathrm{/}2}$を掛けると ${\displaystyle \frac{e^x}{(1+e^{2x}{)}^2}}$ である．よって$x=s$のとき$$\overrightarrow{\alpha }=(-{\displaystyle \frac{e^{2s}}{(1+e^{2s}{)}^2}},{\displaystyle \frac{e^s}{(1+e^{2s}{)}^2}})$$である．

(3)

(2) より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{\alpha }\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =\sqrt{{\displaystyle \frac{e^{4s}}{(1+e^{2s}{)}^4}}+{\displaystyle \frac{e^{2s}}{(1+e^{2s}{)}^4}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^s\sqrt{1+e^{2s}}}{(1+e^{2s}{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^s}{(1+e^{2s}{)}^{3\mathrm{/}2}}}}\end{array}$$である． $u=e^s$とおくと$u>0$であり，最大化すべき関数は $$F(u)={\displaystyle \frac{u}{(1+u^2{)}^{3\mathrm{/}2}}}$$ である．微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(u)}& {\displaystyle =(1+u^2{)}^{-3\mathrm{/}2}-3u^2(1+u^2{)}^{-5\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-2u^2}{(1+u^2{)}^{5\mathrm{/}2}}}}\end{array}$$である．したがって$F^{\mathrm{\prime }}(u)=0$となるのは $u={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ のときである．$0<u<1\mathrm{/}\sqrt{2}$では増加，$u>1\mathrm{/}\sqrt{2}$では減少するので，ここで最大となる．

最大値は$${\displaystyle \frac{1\mathrm{/}\sqrt{2}}{(1+1\mathrm{/}2{)}^{3\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}$$である．