九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第3問

(1)

曲線$C_1:y=x^2\mathrm{/}2$の導関数は$y^{\mathrm{\prime }}=x$である．したがって$x=u$の点における接線の傾きは$u$，法線の傾きは$-1\mathrm{/}u$である．ただし$u=0$の場合も，以下の式は極限的に同じ形で扱える．

点$(u,u^2\mathrm{/}2)$を通る法線は $$y-{\displaystyle \frac{u^2}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{u}}(x-u)$$ であり，両辺に$u$を掛けて整理すると $$x+uy=u+{\displaystyle \frac{u^3}{2}}$$ である．

したがって，Pにおける法線とQにおける法線は $$x+ay=a+{\displaystyle \frac{a^3}{2}},x+by=b+{\displaystyle \frac{b^3}{2}}$$ である．これらを引き算すると $$(a-b)y=(a-b)+{\displaystyle \frac{a^3-b^3}{2}}$$ であり，$a\mathrm{\ne }b$より $$y=1+{\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{2}}$$ である．これを$x+ay=a+a^3\mathrm{/}2$に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x}& {\displaystyle =a+{\displaystyle \frac{a^3}{2}}-a(1+{\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{ab(a+b)}{2}}}\end{array}$$である．よって $$R=(-{\displaystyle \frac{ab(a+b)}{2}},{\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2+2}{2}})$$ である．

ここで$b\to a$とすると $$R\to (-a^3,{\displaystyle \frac{3a^2+2}{2}})=(-a^3,{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2+1)$$ である．したがって $$A=(-a^3,{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2+1)$$ である．

(2)

(1) より，軌跡$C_2$は $$x=-a^3,y=1+{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2$$ で表される．$a$と$-a$でx座標は符号が逆になり，y座標は同じなので，$C_2$はy軸に関して対称である．また$a=0$のとき頂点は$(0,1)$である． $x=-a^3$より$a^2=\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}$だから，$C_2$は $y=1+{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}$ と書ける．$C_1:y=x^2\mathrm{/}2$との交点では $${\displaystyle \frac{x^2}{2}}=1+{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}$$ である．$u=\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}$とおくと，$x^2=u^3$であるから $${\displaystyle \frac{u^3}{2}}=1+{\displaystyle \frac{3}{2}}u$$ すなわち $u^3-3u-2=0$ である．これは $u^3-3u-2=(u-2)(u+1{)}^2$ と因数分解できる．$u\geqq 0$より$u=2$である．したがって $$\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}=2,x^2=2^3=8$$ なので $x=\pm 2\sqrt{2}$ である．このとき$y=x^2\mathrm{/}2=4$だから，交点は $(2\sqrt{2},4),(-2\sqrt{2},4)$ である．

概形として，$C_1$は原点を頂点とする上に開いた放物線であり，$C_2$は$(0,1)$を頂点としてy軸対称に左右へ伸びる曲線である．2曲線は上の2点で交わり，その間では$C_2$が$C_1$の上側にある．

(3)

面積はy軸対称であるから，右半分を2倍すればよい．$0\leqq x\leqq 2\sqrt{2}$では $C_2$ が上，$C_1$ が下なので$$S=2{\int }_0^{2\sqrt{2}}(1+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^{2\mathrm{/}3}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})dx$$である．計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2\sqrt{2}}(1+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^{2\mathrm{/}3}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})dx}& {\displaystyle ={[x+{\displaystyle \frac{9}{10}}{x}^{5\mathrm{/}3}-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}]}_0^{2\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{9}{10}}\cdot 4\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{44\sqrt{2}}{15}}}\end{array}$$である．したがって $$S=2\cdot {\displaystyle \frac{44\sqrt{2}}{15}}={\displaystyle \frac{88\sqrt{2}}{15}}$$ である．

$C_1$ と法線の包絡線 $C_2$

法線族を $F(x,y,a)=x+ay-a-a^3\mathrm{/}2=0$ と書く．隣り合う法線の交点の極限では $F=0$ とパラメータ微分 $\mathrm{\partial }F\mathrm{/}\mathrm{\partial }a=0$ が同時に成り立つため，軌跡を直接得られる．面積は軌跡の媒介変数 $r$ をそのまま積分変数にする．

(1)

$C_1:y=x^2\mathrm{/}2$ の $x=a$ における法線は$$F(x,y,a)=x+ay-a-{\displaystyle \frac{a^3}{2}}=0$$である．$a$ と $a+\mathrm{\Delta }a$ に対応する2本の法線の交点を考え，$\mathrm{\Delta }a\to 0$ とする．2式の差を $\mathrm{\Delta }a$ で割った極限から$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }a}}=y-1-{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2=0$$を得る．したがって$$y=1+{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2\mathrm{.}$$これを $F=0$ へ代入すると$$x=-a^3\mathrm{.}$$よって$$A=(-a^3,1+{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2)\mathrm{.}$$(2)

軌跡 $C_2$ は$$x=-a^3,y=1+{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2$$であり，消去すると$$C_2:y=1+{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$$C_1$ との交点では，$u=\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{2\mathrm{/}3}\geqq 0$ とおくと$$u^3=2+3u,(u-2)(u+1{)}^2=0.$$よって $u=2$，したがって$$(x,y)=(\pm 2\sqrt{2},4)\mathrm{.}$$$C_1$ は原点を頂点とする放物線，$C_2$ は $(0,1)$ を尖点として $y$ 軸対称に伸びる曲線で，2交点の間では $C_2$ が上にある．

(3)

右半分では $r=-a\geqq 0$ とおけば$$x=r^3,y=1+{\displaystyle \frac{3}{2}}{r}^2,dx=3r^{2}dr\mathrm{.}$$交点は $r=\sqrt{2}$ に対応する．したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^{\sqrt{2}}(1+{\displaystyle \frac{3}{2}}{r}^2-{\displaystyle \frac{r^6}{2}})3r^{2}dr}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[r^3+{\displaystyle \frac{9}{10}}{r}^5-{\displaystyle \frac{1}{6}}{r}^9]}_0^{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cdot {\displaystyle \frac{44\sqrt{2}}{15}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{88\sqrt{2}}{15}}\mathrm{.}}\end{array}$$