九州大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

曲線$y=1\mathrm{/}{x}^2$の$x=u$における接線を求める。導関数は $${\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{2}{x^3}}$$ であるから，接線の方程式は $${\displaystyle y-\frac{1}{u^2}=-\frac{2}{u^3}(x-u)}$$ すなわち $${\displaystyle y=-\frac{2}{u^3}x+\frac{3}{u^2}}$$ である。

この接線が$P_1(a,1\mathrm{/}{a}^2)$を通るとすると $${\displaystyle \frac{1}{a^2}=-\frac{2a}{u^3}+\frac{3}{u^2}}$$ である。$v=u\mathrm{/}a$とおくと $${\displaystyle 1=-\frac{2}{v^3}+\frac{3}{v^2}}$$ より $v^3-3v+2=0$ である。因数分解して $(v-1{)}^2(v+2)=0$ となる。$Q_1$は第2象限側の接点なので$u<0$であり，$v=-2$を選ぶ。したがって $u=-2a$ であり，${\displaystyle Q_1(-2a,\frac{1}{4a^2})}$ である。

(2)

次に$Q_1$から$C_1$へ引いた接線の接点を$P_2=(u,1\mathrm{/}{u}^2)$とする。接線 $${\displaystyle y=-\frac{2}{u^3}x+\frac{3}{u^2}}$$ が$Q_1(-2a,1\mathrm{/}(4a^2))$を通るので $${\displaystyle \frac{1}{4a^2}=\frac{4a}{u^3}+\frac{3}{u^2}}$$ である。$w=u\mathrm{/}a$とおくと $${\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{4}{w^3}+\frac{3}{w^2}}$$ すなわち $w^3-12w-16=0$ である。これは $(w-4)(w+2{)}^2=0$ と因数分解でき，第1象限側の接点なので$w=4$である。よって ${\displaystyle P_2(4a,\frac{1}{16a^2})}$ である。

三角形$P_1{Q}_1{P}_2$の面積は，$$P_1=(a,\frac{1}{a^2}),Q_1=(-2a,\frac{1}{4a^2}),P_2=(4a,\frac{1}{16a^2})$$より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mid \mid \begin{array}{cc}-3a& -{\displaystyle \frac{3}{4a^2}}\\ 3a& -{\displaystyle \frac{15}{16a^2}}\end{array}\mid \mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}(\frac{45}{16a}+\frac{9}{4a})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{81}{32a}}\end{array}$$である。

(3)

上の計算から，$C_1$上の点$(s,1\mathrm{/}{s}^2)$から$C_2$へ接線を引くと接点の$x$座標は$-2s$であり，そこから再び$C_1$へ接線を引くと次の接点の$x$座標は$4s$である。したがって $${\displaystyle P_n=(4^{n-1}a,\frac{1}{(4^{n-1}a{)}^2})}$$ である。

(2) の面積公式は，$a$を一般の$s$に置き換えると ${\displaystyle \frac{81}{32s}}$ である。ここで$s=4^{n-1}a$とすれば $${\displaystyle S_n=\frac{81}{32\cdot 4^{n-1}a}}$$ である。

(4)

(3) より$S_n$は初項$81\mathrm{/}(32a)$，公比$1\mathrm{/}4$の等比数列である。したがって$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n=\frac{81}{32a}(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots )=\frac{81}{32a}\cdot \frac{1}{1-1\mathrm{/}4}=\frac{27}{8a}$$である。

2つの枝を交互に結ぶ接線

接点の $x$ 座標は $a\to -2a\to 4a$ と変化する。

接点の座標は接線条件から求める。一般項では、変換 $(x,y)\mapsto (4x,y\mathrm{/}16)$ が曲線 $y=1\mathrm{/}{x}^2$ を保ち、三角形を次の三角形へ移すことを使う。面積倍率は変換の行列式から直ちに $1\mathrm{/}4$ となる。

(1)

$x=u$ における接線$$y=-\frac{2}{u^3}x+\frac{3}{u^2}$$が $P_1=(a,1\mathrm{/}{a}^2)$ を通る条件を $v=u\mathrm{/}a$ で整理すると$$(v-1{)}^2(v+2)=0$$となる。第2象限の接点を選んで$$Q_1=(-2a,\frac{1}{4a^2})$$を得る。

(2)

同様に $Q_1$ から第1象限側への接点は$$P_2=(4a,\frac{1}{16a^2})$$である。3点の座標から行列式で面積を求めると$$S_1=\frac{81}{32a}$$となる。

(3)

平面の変換$$T(x,y)=(4x,\frac{y}{16})$$を考える。$y=1\mathrm{/}{x}^2$ 上の点は再び同じ曲線上へ移り、接線も接線へ移るから$$T(P_n)=P_{n+1},T(Q_n)=Q_{n+1}$$である。変換行列の行列式の絶対値は$$4\cdot \frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$なので、三角形の面積も毎回 $1\mathrm{/}4$ 倍になる。したがって$$S_n=\frac{81}{32a}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$$である。

(4)

等比級数を足して$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n=\frac{81}{32a}\frac{1}{1-1\mathrm{/}4}=\frac{27}{8a}$$を得る。