九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第3問

(1)

左から3枚の$(a,b,c)$だけを考えればよい．全体の並べ方は$6!$通りであるが，残り3枚の並べ方は分子・分母で共通に掛かるので，分母は $6\cdot 5\cdot 4$ として数えればよい．

条件$a+b=c$を満たすには，$a,b$は異なるカードで，和が1から6の範囲に入る必要がある．$a<b$として列挙すると $(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6),(2,3,5),(2,4,6)$ の6通りである．実際の$a,b$には順序があるので，それぞれ$a,b$を入れ替えたものも許される．したがって有利な$(a,b,c)$は $6\cdot 2=12$ 通りである．よって求める確率は $${\displaystyle \frac{12}{6\cdot 5\cdot 4}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$$ である．

(2)

今度は左から4枚の$(a,b,c,d)$だけを考える．分母は $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3$ である．

まず，2枚の相異なるカードで作れる和ごとの組を調べる．順序を無視した2枚組の個数を$r$とすると，次のようになる．$$\begin{array}{cccccccccc}\text{和}& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11\\ r& 1& 1& 2& 2& 3& 2& 2& 1& 1\end{array}$$例えば和7では$1,6,2,5,3,4$の3組がある．

和が同じである2枚組を，左側$(a,b)$と右側$(c,d)$に割り当てる．ただし同じカードを2回使うことはできないので，同じ2枚組を左右の両方に使うことはできない．和が固定され，2枚組が$r$組あるとき，左右に異なる2組を割り当てる方法は $r(r-1)$ 通りである．さらに，各組の内部で順序が2通りずつあるから，有利な順序付き4つ組は $4r(r-1)$ 通りである．

したがって全体の有利な場合の数は$$4\{1\cdot 0+1\cdot 0+2\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 0\}=4(2+2+6+2+2)=56$$である．よって求める確率は $${\displaystyle \frac{56}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}}={\displaystyle \frac{7}{45}}$$ である．