九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第1問

(1)

直角二等辺三角形の大きさは答えに影響しないので，$$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$$ とおく．このとき辺BCの中点は $$M=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である．PはAMを$1:3$に内分する点，つまり$AP:PM=1:3$を満たす点なので $$P={\displaystyle \frac{3A+M}{4}}=({\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}})$$ である．

直線BCの方程式は$x+y=1$であり，これに平行でPを通る直線は $x+y={\displaystyle \frac{1}{4}}$ である．したがって，辺ABとの交点Q，辺ACとの交点Rは $$Q=({\displaystyle \frac{1}{4}},0),R=(0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$$ である．

よって$$\overrightarrow{MQ}=(-{\displaystyle \frac{1}{4}},-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\overrightarrow{MR}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{4}})$$である．内積と長さは $$\overrightarrow{MQ}\cdot \overrightarrow{MR}={\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であり，また$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MQ}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{MR}\mathrm{\mid }=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}$$である．したがって$$\cos \mathrm{\angle }QMR={\displaystyle \frac{\overrightarrow{MQ}\cdot \overrightarrow{MR}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{MQ}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{MR}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{{\displaystyle \frac{5}{16}}}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$$である．

(2) $\theta =\mathrm{\angle }QMR$とおく．(1)より$\cos \theta =4\mathrm{/}5$であるから$$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=2{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^2-1={\displaystyle \frac{32}{25}}-1={\displaystyle \frac{7}{25}}$$である．

一方，$$\overrightarrow{MB}=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ なので $$\overrightarrow{MQ}\cdot \overrightarrow{MB}=-{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である．また $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MB}\mathrm{\mid }=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ だから$$\cos \mathrm{\angle }QMB={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{8}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}$$である．

ここで $${\displaystyle \frac{7}{25}}<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}$$ を確認する．実際，両辺は正であり，平方して $${\left({\displaystyle \frac{7}{25}}\right)}^2={\displaystyle \frac{49}{625}}<{\displaystyle \frac{1}{10}}$$ である．$2\theta$も$\mathrm{\angle }QMB$も$0,\pi$の角であり，この範囲では余弦が小さいほど角は大きい．よって $$2\mathrm{\angle }QMR>\mathrm{\angle }QMB$$ である．

直角二等辺三角形の配置

相似性を使って $AM=4$ とおく．直角三角形の斜辺の中点なので $AM=BM=CM=4$ であり，内分比から $AP=1,PM=3$ となる．相似な三角形 $AQR,ABC$ から $QR=2$，さらに対称性から $PQ=PR=1$ を得る．$MP$ と $QR$ に沿う直交単位ベクトルで $MQ,MR,MB$ を表し，角を比較する．

(1)

図形の大きさは角に影響しないので $AM=4$ とする．三角形 $ABC$ は $A$ を直角とする直角三角形で，$M$ は斜辺 $BC$ の中点だから$$AM=BM=CM=4$$である．また $AP:PM=1:3$ より$$AP=1,PM=3.$$$QR\parallel BC$ なので三角形 $AQR$ と $ABC$ は相似で，相似比は$${\displaystyle \frac{AP}{AM}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$である．$BC=2AM=8$ だから $QR=2$ である．二等辺三角形の対称性により $P$ は $QR$ の中点であり，$$PQ=PR=1,MP\perp QR$$となる．

$M$ から $P$ へ向かう単位ベクトルを $\vec{e}$，$P$ から $R$ へ向かう単位ベクトルを $\vec{f}$ とする．すると $\vec{e}\cdot \vec{f}=0$ であり，$$\overrightarrow{MQ}=3\vec{e}-\vec{f},\overrightarrow{MR}=3\vec{e}+\vec{f}\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{MQ}\cdot \overrightarrow{MR}=9-1=8,\mathrm{\mid }\overrightarrow{MQ}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{MR}\mathrm{\mid }=\sqrt{10}\mathrm{.}$$よって$$\cos \mathrm{\angle }QMR={\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{4}{5}}\mathrm{.}$$(2)

$\theta =\mathrm{\angle }QMR$，$\varphi =\mathrm{\angle }QMB$ とおく．$MB$ は $QR$ と平行で，向きは $-\vec{f}$ の向きだから$$\overrightarrow{MB}=-4\vec{f}\mathrm{.}$$ゆえに$$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{(3\vec{e}-\vec{f})\cdot (-4\vec{f})}{\sqrt{10}\cdot 4}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}\mathrm{.}$$一方，$$\cos 2\theta =2{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^2-1={\displaystyle \frac{7}{25}}\mathrm{.}$$両辺は正で$${\left({\displaystyle \frac{7}{25}}\right)}^2={\displaystyle \frac{49}{625}}<{\displaystyle \frac{1}{10}}={\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}\right)}^2$$だから $\cos 2\theta <\cos \varphi$ である．$2\theta ,\varphi$ はともに $0$ と $\pi$ の間にあり，この範囲で余弦は減少する．したがって$$2\mathrm{\angle }QMR>\mathrm{\angle }QMB$$である．