九州大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第3問

(1)

直線lはAとBを通るので，方向ベクトルは $$\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-1,-1)$$ である．したがって直線l上の点Pは，実数$u$を用いて $$P=A+u(1,-1,-1)=(-1+u,2-u,3-u)$$ と表せる．またQはy軸上にあるので $Q=(0,q,0)$ とおく．

距離の二乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =(-1+u{)}^2+(2-u-q{)}^2+(3-u{)}^2}\end{array}$$である．まず$u$を固定すると，$q$について最小になるのは $q=2-u$ のときである．このとき $P{Q}^2=(-1+u{)}^2+(3-u{)}^2$ となる．これを$u$について最小化すると $$(-1+u{)}^2+(3-u{)}^2=2(u-2{)}^2+2$$ であるから，最小は$u=2$のときである．よって $$P_0=(-1+2,2-2,3-2)=(1,0,1),Q_0=(0,0,0)$$ であり，最小距離は $\sqrt{2}$ である．したがって $$P_0=(1,0,1),Q_0=(0,0,0),\min PQ=\sqrt{2}$$ である．

(2)

三角形$P_0{Q}_{0}C$を含む平面を求める．$Q_0$は原点で，$$\overrightarrow{Q_0{P}_0}=(1,0,1),\overrightarrow{Q_{0}C}=(0,1,0)$$ である．この2つのベクトルを含む平面は $x-z=0$ である．

直線lの方向ベクトル$(1,-1,-1)$の長さは$\sqrt{3}$である．$P_{0}S=s$だから，Sは $$S=P_0\pm {\displaystyle \frac{s}{\sqrt{3}}}(1,-1,-1)$$ のいずれかである．平面$x-z=0$までの距離は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x-z\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}$ である．$P_0$はこの平面上にあり，方向ベクトル$(1,-1,-1)$では$x-z$が $1-(-1)=2$ だけ変化する．したがってSでは $$\mathrm{\mid }x-z\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{2s}{\sqrt{3}}}$$ である．よって $$SR={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2s}{\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}s$$ である．

(3)

y軸の方向を表す単位ベクトルを $\mathbf{u}=(0,1,0)$ とし，直線lの方向を表す単位ベクトルを $$\mathbf{v}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(1,-1,-1)$$ とする．2直線の距離は(1)で求めた最小距離$\sqrt{2}$である．

2つの線分の長さがそれぞれ$k,m$であるから，四面体の体積は ${\displaystyle \frac{1}{6}}\times k\times m\times (2\text{直線の距離})\times (2\text{方向のなす角の正弦})$ で求められる．ここで $$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ なので，なす角$\theta$について $$\sin \theta =\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$ である．したがって$$V={\displaystyle \frac{1}{6}}km\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}={\displaystyle \frac{1}{6}}km\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}}km$$である．

$y$軸と直線 $l$ の位置関係（模式図）

(3) だけを混合積で処理する．$y$軸，直線l，共通垂線の3方向を使えば，線分の始点がどこにあっても平行成分は混合積から消える．

(1)

解法1と同様に距離の二乗を最小化して$$P_0=(1,0,1),Q_0=(0,0,0),\min PQ=\sqrt{2}$$を得る．

(2)

平面 $P_0{Q}_{0}C$ は $x-z=0$ である．直線lの単位方向ベクトルに沿って距離sだけ進むと $\mathrm{\mid }x-z\mathrm{\mid }=2s\mathrm{/}\sqrt{3}$ だから$$SR={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}s\mathrm{.}$$(3)

$y$軸と直線lの単位方向ベクトルをそれぞれ$$\mathbf{u}=(0,1,0),\mathbf{v}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(1,-1,-1)$$とする．また(1)より，両直線を結ぶ最短ベクトルとして$$\mathbf{w}=\overrightarrow{Q_0{P}_0}=(1,0,1)$$を取れる．$$\overrightarrow{DE}=k\mathbf{u}$$，$$\overrightarrow{FG}=m\mathbf{v}$$ である．DからFへのベクトルは，$\mathbf{w}$ に両直線の方向の成分を加えた形であるが，$\mathbf{u},\mathbf{v}$ に平行な成分は混合積に寄与しない．したがって四面体の体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}\mid (k\mathbf{u})\times (m\mathbf{v})\cdot \mathbf{w}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{km}{6}}\mid \left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\\ 0\\ -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{km}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}}km\mathrm{.}}\end{array}$$