九州大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第2問

(1)

実数$r$に対して$$A\left(\begin{array}{c}1\\ r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+\sqrt{3}br\\ \sqrt{3}b+(a+2b)r\end{array}\right)$$である．これが$\lambda (1,r{)}^T$に等しいとすると，第一成分から $\lambda =a+\sqrt{3}br$ である．第二成分について $$\sqrt{3}b+(a+2b)r=(a+\sqrt{3}br)r$$ が必要である．両辺の$ar$を消し，$b\mathrm{\ne }0$で割ると $\sqrt{3}+2r=\sqrt{3}{r}^2$ である．すなわち $\sqrt{3}{r}^2-2r-\sqrt{3}=0$ であり，解は $$r=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},r=\sqrt{3}$$ である．条件$v<w$より $$v=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},w=\sqrt{3}$$ である．

対応する倍率は $$p=a+\sqrt{3}bv=a-b,q=a+\sqrt{3}bw=a+3b$$ である．$b\mathrm{\ne }0$より$p\mathrm{\ne }q$も満たされる．したがって $p=a-b,q=a+3b$ である．

(2)

(1) で求めた$v,w$を用いると$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}& \sqrt{3}\end{array}\right)$$である．Pの第1列はAによって$p=a-b$倍され，第2列は$q=a+3b$倍される．したがって$$AP=P\left(\begin{array}{cc}a-b& 0\\ 0& a+3b\end{array}\right)$$である．両辺に左から$P^{-1}$を掛ければ$$B=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}a-b& 0\\ 0& a+3b\end{array}\right)$$である．

(3)

まず初期値を$s_1,t_1$で表す．Pの逆行列は$$P^{-1}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -1\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{4}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right)$$である．したがって$$\left(\begin{array}{c}{s}_1\\ t_1\end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3\alpha -\sqrt{3}\beta }{4}}\\ {\displaystyle \frac{\alpha +\sqrt{3}\beta }{4}}\end{array}\right)$$である．

また，(2)より$$\left(\begin{array}{c}{s}_{n+1}\\ t_{n+1}\end{array}\right)=P^{-1}A\left(\begin{array}{c}{\alpha }_n\\ {\beta }_n\end{array}\right)=P^{-1}AP\left(\begin{array}{c}{s}_n\\ t_n\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}{s}_n\\ t_n\end{array}\right)$$である．よって $$s_{n+1}=(a-b)s_n,t_{n+1}=(a+3b)t_n$$ となり，$$s_n=(a-b{)}^{n-1}{s}_1,t_n=(a+3b{)}^{n-1}{t}_1$$ である．

$\sum s_n$ は初項 $s_1=0$ なら恒等的に0であり，$s_1\mathrm{\ne }0$ なら公比について $\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }<1$ のとき，かつそのときに限って収束する．同様に，$\sum t_n$ は $t_1=0$ または $\mathrm{\mid }a+3b\mathrm{\mid }<1$ のとき，かつそのときに限って収束する．

ここで$$s_1=0⟺\beta =\sqrt{3}\alpha ,t_1=0⟺\beta =-{\displaystyle \frac{\alpha }{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$$\alpha \mathrm{\ne }0,\beta \mathrm{\ne }0$ のもとでこの2条件が同時に成り立つことはない．したがって，求める必要十分条件は次の通りである．$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{\mid }a+3b\mathrm{\mid }<1,& \beta =\sqrt{3}\alpha \text{ のとき},\\ \mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }<1,& \beta =-{\displaystyle \frac{\alpha }{\sqrt{3}}}\text{ のとき},\\ \mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }<1\text{ かつ }\mathrm{\mid }a+3b\mathrm{\mid }<1,& \text{上のいずれでもないとき}\mathrm{.}\end{array}$$すなわち，一般形では$$(s_1=0\text{ または }\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }<1)\text{かつ}(t_1=0\text{ または }\mathrm{\mid }a+3b\mathrm{\mid }<1)$$である．初期ベクトルが一方の固有方向に一致するときだけ，使われない方の固有値には制約が付かない点に注意する．