九州大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第4問

(1)

時刻0ではQは0にある．0は偶数点なので，時刻1には $1\text{または}2$ にそれぞれ確率$1\mathrm{/}2$でいる．

時刻1で1にいる場合，1は奇数点なので時刻2には必ず2に進む．時刻1で2にいる場合，2は偶数点なので時刻2には3または4にそれぞれ確率$1\mathrm{/}2$で進む．したがって$$P(2,2)={\displaystyle \frac{1}{2}},P(2,3)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}},P(2,4)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$である．それ以外の自然数$j$については到達できないので$$P(2,2)={\displaystyle \frac{1}{2}},P(2,3)={\displaystyle \frac{1}{4}},P(2,4)={\displaystyle \frac{1}{4}},\text{その他は }0$$である．

(2)

1回の移動による増加量は1または2なので，到達できるなら$$T\leqq j\leqq 2T$$が必要である．以下，この不等式を満たすjには実際に正の確率で到達できることを，jの偶奇に分けて示す．

$j=2n$ のとき，後述の「偶数点から次の偶数点まで」を1ブロックと考える．n個のブロックの所要時間は，各ブロックが1回または2回なので，nから2nまでのすべての整数値を取る．したがって$$n\leqq T\leqq 2n$$のとき，かつそのときに限って $P(T,2n)>0$ である．これは $T\leqq 2n\leqq 2T$ と同値である．

$j=2n+1$ のとき，最後の1回は偶数点 $2n$ から $2n+1$ への移動でなければならない．よって$$P(T,2n+1)>0$$であることは，時刻 $T-1$ に $2n$ にいる確率が正であることと同値である．偶数の場合の結果から$$n\leqq T-1\leqq 2n\mathrm{.}$$これは$$T\leqq 2n+1\leqq 2T$$と同値である．

以上より，偶数・奇数のどちらでも$$P(T,j)>0⟺T\leqq j\leqq 2T\mathrm{.}$$したがって$$P(T,j)=0⟺j<T\text{ または }j>2T\mathrm{.}$$(3)

偶数点$2r$から次の偶数点$2r+2$へ進む方法を1つのブロックとして見る．方法は次の2種類である． $2r\to 2r+2$ と1回で進む場合，確率は$1\mathrm{/}2$である．また $2r\to 2r+1\to 2r+2$ と2回で進む場合も，最初に奇数点へ進む確率が$1\mathrm{/}2$，その後は確率1で進むので，全体の確率は$1\mathrm{/}2$である．

座標$2n$に到達するには，この偶数点間ブロックをちょうどn個完了する必要がある．n個のうち，2回かかる長いブロックが$r$個，1回で進む短いブロックが$n-r$個あるとすると，全体の時刻は $2r+(n-r)=n+r$ である．これがTに等しいためには $r=T-n$ でなければならない．したがって$0\leqq T-n\leqq n$，すなわち $n\leqq T\leqq 2n$ のときだけ可能である．

そのとき，長いブロックをn個中 $T-n$ 個選ぶ方法は$${\displaystyle \frac{n!}{(T-n)!(2n-T)!}}$$通りである．各ブロックは，短い場合も長い場合も最初の選択の確率が $1\mathrm{/}2$ なので，指定したn個の並びが生じる確率は $1\mathrm{/}{2}^n$ である．よって$$P(T,2n)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\displaystyle \frac{n!}{(T-n)!(2n-T)!2^n}},}& n\leqq T\leqq 2n,\\ 0,& \text{それ以外}\mathrm{.}\end{array}$$偶数点間の2種類のブロック