九州大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

求める式は $${\displaystyle 1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}}$$ である。$n=1$のとき，左辺は$1$，右辺も$1\cdot 2\mathrm{/}2=1$であり成り立つ。

$n$で成り立つと仮定すると，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1+2+\cdots +n+(n+1)}& {\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)(\frac{n}{2}+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n+1)(n+2)}{2}}\end{array}$$である。これは$n+1$の場合の式であるから，数学的帰納法によりすべての正の整数$n$で成り立つ。

(2)

求める式は $${\displaystyle 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$ である。$n=1$では両辺とも$1$である。

$n$で成り立つと仮定すると，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1^2+2^2+\cdots +n^2+(n+1{)}^2}& {\displaystyle =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)\{\frac{n(2n+1)}{6}+n+1\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)\frac{2n^2+7n+6}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}\end{array}$$である。これは$n+1$の場合の式である。よって数学的帰納法により成り立つ。

(3)

求める式は $${\displaystyle 1^3+2^3+\cdots +n^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2}$$ である。$n=1$では両辺とも$1$である。

$n$で成り立つと仮定すると，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1^3+2^3+\cdots +n^3+(n+1{)}^3}& {\displaystyle ={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2+(n+1{)}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1{)}^2(\frac{n^2}{4}+n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1{)}^2\frac{(n+2{)}^2}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left\{\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right\}}^2}\end{array}$$である。これは$n+1$の場合の式であるから，数学的帰納法によりすべての正の整数$n$で成り立つ。

隣り合う累乗の差を $k=1,\dots ,n$ で加える。平方差から一次和、立方差から二乗和、四乗差から三乗和を順に決めれば、3式を一つの流れで証明できる。

(1) $$(k+1{)}^2-k^2=2k+1$$を $k=1,\dots ,n$ で加えると$$(n+1{)}^2-1=2\sum _{k=1}^{n}k+n$$だから$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$である。

(2) $$(k+1{)}^3-k^3=3k^2+3k+1$$を加え、(1)を用いると$$(n+1{)}^3-1=3\sum _{k=1}^n{k}^2+3\frac{n(n+1)}{2}+n$$となる。整理して$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$を得る。

(3) $$(k+1{)}^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$$を加える。(1)(2)を代入すれば$$(n+1{)}^4-1=4\sum _{k=1}^n{k}^3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n$$である。右辺の既知項を移項して整理すると$$\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$$となる。