九州大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

$AB$は直径であり，$M$は円周上の点だから $\mathrm{\angle }AMB={90}^{\circ }$ である。三角形$AMB$において$AB=2$，$\mathrm{\angle }MAB=\theta$なので $$MB=2\sin \theta ,AM=2\cos \theta$$ である。

また，$A=(-1,0)$から見た$AM$の方向は$x$軸の正の向きとなす角が$\theta$であるから $$M=(-1,0)+2\cos \theta (\cos \theta ,\sin \theta )$$ である。よって $$M=(2{\cos }^2\theta -1,2\sin \theta \cos \theta )=(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$$ を得る。

(2)

点$B$の中心角は$0$，点$M$の中心角は$2\theta$である。弦の長さは対応する中心角の大きさで決まり，$NM=MB$で，さらに$N\mathrm{\ne }B$だから，$N$は$M$から見て$B$と反対側に同じ中心角だけ進んだ点である。したがって$N$の中心角は $2\theta +2\theta =4\theta$ であり，$$N=(\cos 4\theta ,\sin 4\theta )$$ である。$P$は$N$から$x$軸へ下ろした垂線の足なので，$P=(\cos 4\theta ,0)$である。よって $$PB=1-\cos 4\theta =2{\sin }^{2}2\theta$$ である。

(3)

$t=\sin \theta$とおくと $MB=2\sin \theta =2t$ である。また $$PB=2{\sin }^{2}2\theta =2(2\sin \theta \cos \theta {)}^2=8t^2(1-t^2)$$ である。したがって$MB=PB$は $2t=8t^2(1-t^2)$ である。$t>0$なので両辺を$2t$で割って $4t(1-t^2)=1$ を得る。

(4)

$N$が上半円上にあるためには$0<4\theta \leqq \pi$である。したがって $${\displaystyle 0<\theta \leqq \frac{\pi }{4},0<t=\sin \theta \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ で調べればよい。

$g(t)=4t(1-t^2)$とおく。$0<t\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$で$g(t)=1$の解の個数を調べる。導関数は $g^{\mathrm{\prime }}(t)=4(1-3t^2)$ であるから，$g(t)$は$0<t<1\mathrm{/}\sqrt{3}$で増加し，$1\mathrm{/}\sqrt{3}<t\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$で減少する。

まず$0<t\leqq 1\mathrm{/}2$では$g(t)$は増加し，$${\displaystyle \underset{t\to +0}{\lim }g(t)=0,g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}}$$ である。よってこの区間に$g(t)=1$の解がただ一つある。

次に$1\mathrm{/}2\leqq t\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$では，最小値は端点のどちらかで生じるので$$g(t)\geqq \min \{g\left(\frac{1}{2}\right),g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\}=\min \{\frac{3}{2},\sqrt{2}\}>1$$である。したがってこの区間には$g(t)=1$の解はない。以上より，$MB=PB$となる点$M$はただ一つである。

等しい弦が作る中心角

$M$ の中心角は $2\theta$。等弦条件と $N\text{neqq}B$ から $N$ の中心角は $4\theta$。