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九州大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

数列{xn}の第n項をxn=rn−1で定める。
このとき，正の実数xに対して定義された関数f(x)=x−αを用いて，
2つの数列{an}と{bn}を，
それぞれan=f(xn)(xn+1−xn)とbn=f(xn+1)(xn+1−xn)で定める。
ただし，αは正の定数，rは1より大きい実数とする。以下の問いに答えよ。

(1) αの値に応じて級数a(r)=∑n=1∞anの収束，発散を調べ，
収束するときは和を求めよ。

(2) αの値に応じて級数b(r)=∑n=1∞bnの収束，発散を調べ，
収束するときは和を求めよ。

(3) 極限lim⁡r→1+0a(r)とlim⁡r→1+0b(r)のそれぞれについて，
極限が有限な値である場合，その値を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安20分

数列、指数・対数、関数　漸化式の変形、極限計算、場合分け

方針

各項をまず等比数列として明示する。xn=rn−1 なので、xn+1−xn=(r−1)rn−1 であり、an, bn は公比 r1−α の等比数列になる。収束条件は r1−α<1、つまり α>1 である。和を求めたあと、r→1+0 では rα−1 の r=1 における微分係数を用いて分母の極限を処理する。

解答

(1) xn=rn−1 であるから、xn+1=rn であり、xn+1−xn=rn−rn−1=(r−1)rn−1 である。したがってan=f(xn)(xn+1−xn)=(rn−1)−α(r−1)rn−1=(r−1)r(1−α)(n−1)である。

これは初項 r−1、公比 r1−α の等比級数である。r>1 なので、r1−α<1 となるのは α>1 のときである。よって α>1 のとき収束し、a(r)=∑n=1∞(r−1)r(1−α)(n−1)=(r−1)11−r1−αである。すなわち a(r)=r−11−r1−α(α>1) である。

一方、0<α≦1 のときは r1−α≧1 である。α=1 なら各項は r−1 で0に近づかず、0<α<1 なら項が大きくなる。したがってこの場合、級数は発散する。

(2)

同様にbn=f(xn+1)(xn+1−xn)=(rn)−α(r−1)rn−1=(r−1)r−αr(1−α)(n−1)である。これも公比 r1−α の等比級数である。

したがって α>1 のとき収束し、b(r)=(r−1)r−α1−r1−α(α>1) である。0<α≦1 のときは (1) と同じ理由で発散する。

(3) 0<α≦1 では (1), (2) の級数が発散するので、有限な値としての a(r),b(r) は得られない。以下、α>1 とする。

(1) で得た式を、r→1+0 で扱いやすい形に直す。1−r1−α=1−1rα−1=rα−1−1rα−1であるからa(r)=r−11−r1−α=rα−1(r−1)rα−1−1である。

関数 g(r)=rα−1 の r=1 における微分係数は g′(1)=α−1 である。したがって lim⁡r→1+0rα−1−1r−1=α−1 である。よって lim⁡r→1+0a(r)=1α−1 である。

また b(r)=r−αa(r) であり、r→1+0 のとき r−α→1 である。したがって lim⁡r→1+0b(r)=1α−1 である。

以上より、有限な極限値があるのは α>1 のときで、その値は lim⁡r→1+0a(r)=lim⁡r→1+0b(r)=1α−1 である。

総評

難度6、計算量5。目安時間は20分。まず an, bn を公比 r1−α の等比数列として書き切ることが中心である。r>1 なので収束条件は α>1 に限られる。0<α≦1 では項が0へ近づかない、または大きくなるため発散することを明記したい。極限では 1−r1−α を rα−1−1 に直すと、微分係数の定義で 1/(α−1) が出る。b(r)=r−αa(r) と見れば、2つ目の極限は短く処理できる。

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出典: 九州大学 2015年度 後期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。