九州大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) ${\theta }_1=0$ であり、$0\leqq \alpha \leqq \pi \mathrm{/}2$ だから $${\theta }_2=\alpha ,{\theta }_3=2\alpha$$ である。したがって $$x_3=\sin \alpha +\frac{1}{2}\sin 2\alpha$$ である。これを $f(\alpha )$ とおくと $$f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=\cos \alpha +\cos 2\alpha$$ である。$0\leqq \alpha \leqq \pi \mathrm{/}2$ で $$\cos \alpha +\cos 2\alpha =0$$ を解くと $$2{\cos }^2\alpha +\cos \alpha -1=0$$ より $\cos \alpha =\frac{1}{2}$ である。したがって $$\alpha =\frac{\pi }{3}$$ である。端点では $f(0)=0$、$f(\pi \mathrm{/}2)=1$ であり、$$f(\pi \mathrm{/}3)=\sqrt{3}\mathrm{/}2+\sqrt{3}\mathrm{/}4=3\sqrt{3}\mathrm{/}4$$ なので、最大となるのは $$\alpha =\frac{\pi }{3}$$ である。

(2) $\alpha =\pi \mathrm{/}4$ のとき$${\theta }_2=\frac{\pi }{4},{\theta }_3=\frac{\pi }{2},{\theta }_4=\frac{3\pi }{4},{\theta }_5=\frac{\pi }{2}$$となり、その後は $\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{2}$ を繰り返す。したがって$$\sin {\theta }_2=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin {\theta }_3=1,\sin {\theta }_n=1,\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{2}}{2},\dots (n\geqq 3)$$である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}+\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\{\frac{1}{2^{2m+2}}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2^{2m+3}}\cdot 1\}$$である。等比級数を計算すると$$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1\mathrm{/}4}{1-1\mathrm{/}4}+\frac{1\mathrm{/}8}{1-1\mathrm{/}4}=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{3}$$である。

(3)
まず $\pi \mathrm{/}4<\alpha \leqq \pi \mathrm{/}2$ の場合を考える。このとき $${\theta }_2=\alpha >0,{\theta }_3=2\alpha >\frac{\pi }{2}$$ であり、その後は $\alpha ,2\alpha$ を交互に繰り返す。したがって極限値を $X(\alpha )$ とすると$$X(\alpha )=\sin \alpha +\frac{1}{2}\sin 2\alpha +\frac{1}{4}\sin \alpha +\frac{1}{8}\sin 2\alpha +\cdots$$ $$=\frac{4}{3}\sin \alpha +\frac{2}{3}\sin 2\alpha$$ である。微分すると $$X^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=\frac{4}{3}(\cos \alpha +\cos 2\alpha )$$ であり、(1)と同じく $\alpha =\pi \mathrm{/}3$ で最大となる。このとき$$X\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$である。

次に $0\leqq \alpha \leqq \pi \mathrm{/}4$ の場合を考える。この範囲では $$\sin {\theta }_2=\sin \alpha \leqq \frac{\sqrt{2}}{2}$$ であり、それ以後の各 $\sin {\theta }_n$ は高々1である。したがって$$X(\alpha )\leqq \frac{\sqrt{2}}{2}+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots )=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$$である。ここで$${(1+\frac{\sqrt{2}}{2})}^2=\frac{3}{2}+\sqrt{2}<3$$である。最後の不等式は $\sqrt{2}<3\mathrm{/}2$ から従う。両辺は正なので$$1+\frac{\sqrt{2}}{2}<\sqrt{3}\mathrm{.}$$したがって、この範囲では $\sqrt{3}$ に達しない。

以上より、極限値が最大となるのは $$\alpha =\frac{\pi }{3}$$ であり、その最大値は $\sqrt{3}$ である。