九州大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
2次方程式 $x^2+px+q=0$ の解が $\alpha ,\beta$ であるから、解と係数の関係より $$\alpha +\beta =-p,\alpha \beta =q$$ である。 $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおく。$\alpha ,\beta$ はともに $r^2+pr+q=0$ をみたすので $r^{n+2}+p{r}^{n+1}+q{r}^n=0$ が成り立つ。$r=\alpha ,\beta$ について足し合わせると $s_{n+2}+p{s}_{n+1}+q{s}_n=0$ すなわち $s_{n+2}=-p{s}_{n+1}-q{s}_n$ である。

ここで $$s_0=2,s_1=\alpha +\beta =-p$$ は整数であり、$p,q$ も整数である。したがって漸化式により $s_n$ はすべて整数である。

また$$a_n=({\alpha }^n-1)({\beta }^n-1)=(\alpha \beta {)}^n-({\alpha }^n+{\beta }^n)+1=q^n-s_n+1$$である。よって $q^n$、$s_n$ が整数なので、特に $a_1,a_2,a_3$ はいずれも整数である。

(2)
条件 $$(\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }-1)(\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }-1)>0$$ は、$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ がともに1より大きい、またはともに1より小さいことを意味する。

まず $$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }<1,\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }<1$$ のとき、${\alpha }^n\to 0$、${\beta }^n\to 0$ であるから $$a_n=({\alpha }^n-1)({\beta }^n-1)\to 1$$ である。したがって ${\displaystyle \mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid \to 1}$ であり、極限値は整数である。

次に $$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }>1,\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }>1$$ のときを考える。このとき $$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha \beta \mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid },\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$$ である。したがって $$a_n=q^n-({\alpha }^n+{\beta }^n)+1$$ では $q^n$ が支配的であり、$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\to q}$$ となる。よって $${\displaystyle \mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid \to \mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}$$ である。$q$ は整数なので、$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ も整数である。

以上より、条件のもとで極限値は整数である。

(3)
極限値 ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ は整数ではない。したがって (2) の条件は成り立たず、$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ の一方が1より大きく、他方が1より小さい場合である。

たとえば $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }>1$、$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }<1$ とする。このとき $\mathrm{\mid }\alpha \beta \mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$ であるから、$$a_n=q^n-({\alpha }^n+{\beta }^n)+1$$ では ${\alpha }^n$ が支配的である。したがって $${\displaystyle \mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid \to \mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}$$ である。同様に、$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }>1$、$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }<1$ のときは極限値は $\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ である。

よって、絶対値が1より大きい方の根の絶対値が $${\displaystyle \phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$ でなければならない。つまり根の一つは $\phi \text{または}-\phi$ である。

$\phi$ は ${\phi }^2-\phi -1=0$ をみたす。$p,q$ は整数で、方程式は最高次係数1の2次方程式だから、無理数根 $\phi$ をもてば、もう一つの根はその共役 ${\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$ である。したがって方程式は $x^2-x-1=0$ であり、$(p,q)=(-1,-1)$ である。

同様に、根の一つが $-\phi$ のときは、もう一つの根は ${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$ であり、方程式は $x^2+x-1=0$ である。したがって $(p,q)=(1,-1)$ である。

実際、これら2つの場合はいずれも根の一方の絶対値が $\phi$、もう一方の絶対値が $1\mathrm{/}\phi <1$ であり、条件 $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{\ne }1$、$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }\mathrm{\ne }1$ もみたす。よって求める組は $(p,q)=(-1,-1),(1,-1)$ である。