Evolton

九州大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

2次の正方行列A，BはそれぞれA(−35)=(0−1),A(7−9)=(8−11)B(0−1)=(−56),B(8−11)=(−710)をみたすものとする．
このとき，以下の問いに答えよ。
ただし，Eは2次の単位行列を表すものとする。

(1) 行列A，B，A2，B2を求めよ。

(2) (AB)3=Eであることを示せ。

(3) 行列Aから始めて，BとAを交互に右から掛けて得られる行列A,AB,ABA,ABAB,⋯⋯ ,および行列Bから始めて，AとBを交互に右から掛けて得られる行列B,BA,BAB,BABA,⋯⋯を考える。これらの行列の内で，相異なるものをすべて成分を用いて表せ。

難易度6/ 10計算量6/ 10目安28分

行列　計算整理、場合分け、漸化式の変形

方針

(1) は2本の一次独立なベクトルへの作用が与えられているので、列ベクトルを並べた行列を使って A、B を決定する。得られた行列を直接2乗して A2=B2=E も確認する。(2) は AB を計算し、(AB)2、(AB)3 と順に掛ける。(3) は A2=B2=E と (AB)3=E により、交互積が6種類に周期化することを使い、E,A,B,AB,BA,ABA をすべて成分で列挙する。

解答

(1)
まずAを求める。与えられた条件を列ベクトルを並べて書くとA(−375−9)=(08−1−11)である。左の行列の行列式は (−3)(−9)−7⋅5=−8≠0 だから逆行列をもつ。したがってA=(08−1−11)(−375−9)−1=(53−8−5)である。

同様にBについてはB(08−1−11)=(−5−7610)である。よってB=(−5−7610)(08−1−11)−1=(65−7−6)である。

これらを2乗するとA2=(53−8−5)2=(1001)=Eであり、B2=(65−7−6)2=(1001)=Eである。

(2)
まずAB=(53−8−5)(65−7−6)=(97−13−10)である。さらに(AB)2=(97−13−10)2=(−10−7139)であり、(AB)3=(AB)2(AB)=(−10−7139)(97−13−10)=(1001)=Eである。

(3)
A2=B2=E であるから、同じ文字が連続した部分は消える。また (AB)3=E であるから、交互に掛けてできる行列は周期的に繰り返される。

実際、相異なる候補は E,A,B,AB,BA,ABA の6種類で十分である。これらを成分で表すとE=(1001),A=(53−8−5),B=(65−7−6),AB=(97−13−10),BA=(−10−7139),ABA=(−11−81511)である。

これら6個は互いに成分が異なる。また、Aから始める交互積もBから始める交互積も、A2=B2=E と (AB)3=E によりこの6個のいずれかに必ず一致する。したがって、求める相異なる行列は上の6個である。

総評

与えられたベクトルへの作用から行列を復元し、交互積の周期性を調べる問題である。目安時間は28分。(1) は2本のベクトルが一次独立であること、すなわち並べた行列の行列式が0でないことを確認してから逆行列を使うとよい。(3) は行列をただ長く掛け続けるのではなく、A2=B2=E と (AB)3=E によって候補が6種類に閉じることを説明するのが核心である。

冊子PDFで見る九大の行列の問題で問題集を作る

出典: 九州大学 2012年度 前期日程 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。