九州大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

点 $P(x,y)$ について、直線 $l_1:y=-1$ までの距離は $d(P,l_1)=\mathrm{\mid }y+1\mathrm{\mid }$ であり、直線 $l_2:y=1$ までの距離は $d(P,l_2)=\mathrm{\mid }y-1\mathrm{\mid }$ である。また $$PO=\sqrt{x^2+y^2},PA=\sqrt{(x-a{)}^2+y^2}$$ である。

条件$A$の2つの不等式は両辺が非負なので、平方して同値に変形できる。まず $(y+1{)}^2\geqq x^2+y^2$ より $2y+1\geqq x^2$ すなわち $$y\geqq \frac{x^2-1}{2}$$ である。次に $$(y-1{)}^2\geqq (x-a{)}^2+y^2$$ より $-2y+1\geqq (x-a{)}^2$ すなわち $$y\leqq \frac{1-(x-a{)}^2}{2}$$ である。

2つの放物線にはさまれる領域の形は、たとえば $a=1$ のとき次のようになる。

したがって条件$A$を満たす点が存在するためには $$\frac{x^2-1}{2}\leqq \frac{1-(x-a{)}^2}{2}$$ となる実数 $x$ が存在すればよい。これは $x^2+(x-a{)}^2\leqq 2$ と同値である。左辺を平方完成すると $$x^2+(x-a{)}^2=2{(x-\frac{a}{2})}^2+\frac{a^2}{2}$$ である。最小値は $x=a\mathrm{/}2$ のとき $a^2\mathrm{/}2$ だから、存在条件は $\frac{a^2}{2}\leqq 2$ すなわち $-2\leqq a\leqq 2$ である。

(2)

次に面積を求める。上側の放物線と下側の放物線の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1-(x-a{)}^2}{2}-\frac{x^2-1}{2}}& {\displaystyle =1-\frac{x^2+(x-a{)}^2}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{(x-\frac{a}{2})}^2-\frac{a^2}{4}}\end{array}$$である。ここで $$R^2=1-\frac{a^2}{4}$$ とおくと、$-2\leqq a\leqq 2$ より $R\geqq 0$ であり、上下の差は $R^2-{(x-\frac{a}{2})}^2$ となる。領域が存在する $x$ の範囲は $$\mid x-\frac{a}{2}\mid \leqq R$$ である。

したがって $u=x-a\mathrm{/}2$ とおくと、面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-R}^R(R^2-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[R^{2}u-\frac{u^3}{3}]}_{-R}^R}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}{R}^3}\end{array}$$である。よって $$S=\frac{4}{3}{(1-\frac{a^2}{4})}^{3\mathrm{/}2}$$ である。端点 $a=\pm 2$ では $R=0$ となり、面積は0である。