九州大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
与えられた3点について $$AB=3,BC=3,CA=3$$ であるから、$\mathrm{△}ABC$ は一辺3の正三角形である。その重心を $G$ とすると $$G=\frac{A+B+C}{3}=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},0)$$ である。

正四面体では、点 $D$ は底面の重心 $G$ を通り底面に垂直な直線上にある。正三角形の外接円半径は $$\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$ であり、正四面体の辺長は3だから、高さ $h$ は $h^2=3^2-(\sqrt{3}{)}^2=6$ を満たす。$D$ の $z$ 座標は正なので $$D=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},\sqrt{6})$$ である。

(2) $E$ は $CD$ を $2:1$ に内分するので$$E=\frac{C+2D}{3}=(\frac{5\sqrt{3}}{6},-\frac{1}{2},\frac{2\sqrt{6}}{3})$$である。また $F$ は $AD$ を $2:1$ に内分するので $$F=\frac{A+2D}{3}=(\frac{\sqrt{3}}{3},0,\frac{2\sqrt{6}}{3})$$ である。 $O$ は原点なので、$\mathrm{△}OEF$ の面積は内積を使って求められる。まず $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OE}{\mathrm{\mid }}^2=5,\mathrm{\mid }\overrightarrow{OF}{\mathrm{\mid }}^2=3$$ であり、さらに$$\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{OF}=\frac{5\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{7}{2}$$である。したがって$$\text{面積}=\frac{1}{2}\sqrt{5\cdot 3-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{11}}{4}$$である。

(3) $$\overrightarrow{OE}=(5\sqrt{3}\mathrm{/}6,-1\mathrm{/}2,2\sqrt{6}\mathrm{/}3)$$、$$\overrightarrow{OF}=(\sqrt{3}\mathrm{/}3,0,2\sqrt{6}\mathrm{/}3)$$ である。平面 $OEF$ は原点を通るので、
その方程式を $ax+by+cz=0$ とおく。$E,F$ の座標を代入して係数を求めると$$\begin{array}{cccc}& 2\sqrt{6}x+6\sqrt{2}y-\sqrt{3}z=0& & \text{(1)}\end{array}$$を得る。

式(1)の左辺を $L(x,y,z)$ とする。各頂点では$$L(A)=L(C)=6\sqrt{2}>0,L(B)=-12\sqrt{2}<0,L(D)=-3\sqrt{2}<0$$である。したがって辺 $AC$、$BD$ には新しい交点がなく、既知の
$O\in AB$、$E\in CD$、$F\in AD$ 以外の交点は辺 $BC$ 上にある。

辺 $BC$ 上の点を$$X=B+u(C-B)=(\frac{3\sqrt{3}}{2}u,-2+\frac{3}{2}u,0)(0\leqq u\leqq 1)$$とおく。これを(1)へ代入すると$$9\sqrt{2}u+6\sqrt{2}(-2+\frac{3}{2}u)=0,$$すなわち$$18\sqrt{2}u-12\sqrt{2}=0.$$よって $u=2\mathrm{/}3$ であり、$$X=(\sqrt{3},-1,0)$$である。