九州大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

白玉をもらう位置の集合を $$W=\{0,\pm 3,\pm 6,\pm 9\}$$ とする。10回の硬貨投げはすべて同様に確からしく、全体は $2^{10}=1024$ 通りである。

(1)
白玉をまだもらっていない移動列だけを追う。1回目以後、白玉を避けながら進むには、位置は$$1\text{回目}:\pm 1,2\text{回目}:\pm 2,3\text{回目}:\pm 1,4\text{回目}:\pm 2,\dots$$と交互に限られる。したがって9回目終了時に白玉を一度ももらっていない位置は $\pm 1$ の2通りである。10回目に初めて白玉をもらうには、そこから原点へ移動するしかない。よって有利な移動列は2通りであり、確率は $$\frac{2}{2^{10}}=\frac{1}{512}$$ である。

(2)
2回目で初めて白玉をもらうには、1回目に $+1$ または $-1$ に行き、2回目に原点へ戻る必要がある。その後8回は白玉をもらってはならない。

原点から出発して白玉を8回避ける動きは、上と同じ理由で常に2通りである。ただし2回目に原点へ来た直後から見れば、3回目以降の8回で白玉を避ける列は、正負それぞれに交互に動く2通りである。2回目までの戻り方も2通りなので、有利な列は $2\cdot 2=4$ 通りである。よって確率は $$\frac{4}{2^{10}}=\frac{1}{256}$$ である。

(3)
時刻 $n$ に位置 $p$、白玉数 $k$ である移動列の数を $N_n(p,k)$ とする。
初期値は$$N_0(0,0)=1$$であり、それ以外は0である。位置 $q$ へ移ったとき白玉をもらうかどうかを$$\epsilon (q)=\{\begin{array}{ll}1& (q\in W),\\ 0& (q\mathrm{\notin }W)\end{array}$$と書けば、更新式は$$\begin{array}{cccc}& N_{n+1}(q,k)=N_n(q-1,k-\epsilon (q))+N_n(q+1,k-\epsilon (q))& & \text{(1)}\end{array}$$である。

式(1)を順に用い、位置 $p$ について足した個数をまとめると次の表になる。$$\begin{array}{crrrrrrr}n\mathrm{\backslash }k& 0& 1& 2& 3& 4& 5& \text{合計}\\ 6& 2& 18& 36& 8& 0& 0& 64\\ 7& 2& 22& 64& 40& 0& 0& 128\\ 8& 2& 26& 100& 112& 16& 0& 256\\ 9& 2& 30& 144& 240& 96& 0& 512\\ 10& 2& 34& 196& 440& 320& 32& 1024\end{array}$$各行の合計が $2^n$ であるため、すべての移動列が重複なく数えられている。
したがって白玉が1個である移動列は34通りである。よって$$\mathrm{Pr}(\text{白玉1個})=\frac{34}{2^{10}}=\frac{17}{512}$$である。

(4)
同じ表から、白玉が2個である移動列は196通りである。したがって$$\mathrm{Pr}(\text{白玉2個})=\frac{196}{2^{10}}=\frac{49}{256}$$である。