Evolton
方針
を基底として、各点の位置を係数で表す。平面 上の点は の重み付き平均で表せるので、 上の点 と係数比較して を求める。法線ベクトルは平面上の2方向 に垂直なベクトルとして計算する。最後は が法線ベクトルと平行になる条件から と の関係を出す。
解答
とおく。座標で見れば である。
(1)
点 は線分 を に内分するので である。また点 は線分 を に内分する。 は から見て 、 は の位置にあるから、 である。 は線分 上にあるので、ある実数 を用いて と書ける。
一方、 は平面 上にある。平面 上の点は、実数 で を満たすものを用いて と表せる。したがって、 の係数を比較すると である。よって となる。したがって である。
ゆえに である。
(2)
平面 上の2方向ベクトルとして と を取る。
求める垂直ベクトルを、 成分が1であることから とおく。これが に垂直である条件は すなわち であり、 を得る。また に垂直である条件は すなわち である。よって である。
したがって求めるベクトルは である。
(3)
(1) より、 の向きは の向きと同じである。これが平面 に垂直になるには、(2)の法線ベクトル と平行であればよい。
第1成分と第3成分を見ると、 となる必要がある。第2成分を比較して である。したがって である。ただし、もとの条件 を満たすためには すなわち である必要がある。
直方体と点 、直線 、平面 の位置関係を模式的に描くと次のようになる。
別解
解法2（平面方程式と直線の媒介表示）
方針
3点 から平面方程式を直接作り、直線 の媒介表示を代入して交点を求める。平面方程式の係数を法線ベクトルとして使い、平行条件から の関係を出す。
解答
平面の方程式と直線の媒介表示を、座標から直接求める。
点 、、 である。平面 はで表される。実際、 の3点はいずれもこの式を満たす。
一方、 なので、直線 上の点は実数 を用いてと表せる。
(1)
これを平面の方程式へ代入するとである。よってとなる。したがってである。
(2)
平面の方程式の係数から法線ベクトルはである。これは指定通り 成分が である。
(3)
の向きは である。これが上の法線ベクトルと平行になる条件はである。第2成分からを得る。 も満たすには が必要である。
総評
難度6、計算量5。目安時間は22分。直方体の座標をそのまま扱ってもよいが、 を基底として使うと係数比較が見通しやすい。(1) では平面 上の点を の重み付き平均で表し、係数和が1になる条件を使うのが核心である。(2) は の2本に垂直なベクトルを求めればよい。(3) では だけでなく、 から が必要である点まで確認したい。