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九州大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

原点をOとする座標空間に，
3点A(1, 0, 0)，B(0, 0, 2)，C(−2, 1, 3)がある。
このとき，以下の問いに答えよ。

(1) △ABCにおいて，∠Bはπ2より大きいことを示せ。

(2) 点Aから直線BCに下ろした垂線と直線BCとの交点をHとする。
点Hの座標を求めよ。

(3) △OAHの面積を求めよ。

難易度4/ 10計算量4/ 10目安15分

ベクトル　内積の利用、座標設定、面積計算

方針

(1) は角Bをはさむ2本のベクトル BA→、BC→ の内積を見る。内積が負なら角は鈍角である。(2) は点Hを直線BC上の点 B+λBC→ とおき、AH⊥BC を内積0の条件で表して λ を求める。(3) は OA が x 軸上の長さ1の辺であることを使い、Hから x 軸までの距離を高さとして三角形の面積を出す。

解答

(1)
角Bをはさむ2つのベクトルはBA→=A−B=(1,0,−2),BC→=C−B=(−2,1,1)である。これらの内積はBA→⋅BC→=1⋅(−2)+0⋅1+(−2)⋅1=−4である。

内積が負であるから、2つのベクトルのなす角の余弦は負である。したがって ∠B>π2 である。

(2)
点Hは直線BC上にあるので、実数 λ を用いてH=B+λBC→=(0,0,2)+λ(−2,1,1)=(−2λ,λ,2+λ)と表せる。

HはAから直線BCに下ろした垂線の足であるから、AH→⊥BC→ である。すなわち (A−H)⋅BC→=0 をみたす。ここで A−H=(1+2λ,−λ,−2−λ) であるから、(A−H)⋅BC→=−2(1+2λ)−λ+(−2−λ)=−4−6λとなる。よって −4−6λ=0 より λ=−23 である。

したがって H=(43,−23,43) である。

(3)
点Oと点Aはともに x 軸上にあり、OA=1 である。したがって三角形OAHの面積は、底辺をOAとし、Hから x 軸までの距離を高さとして求められる。

Hから x 軸までの距離は、Hの y,z 成分を用いて(−23)2+(43)2=49+169=253である。よって [△OAH]=12⋅1⋅253=53 である。

総評

空間ベクトルの基本処理を3段階で確認する問題である。目安時間は15分。(1) は角Bなので、必ずBを始点にした BA→ と BC→ を使う。(2) は直線BC上の点を1変数で表し、垂線条件を内積0にするだけだが、A−H と H−A の向きはどちらでもよいので、符号よりも内積が0になることを重視するとよい。(3) は三角形が座標平面内にないため、HからOA、つまり x 軸への距離を高さとして取るのが安全である。

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出典: 九州大学 2012年度 前期日程 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。