九州大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$$とおく。正四面体の一辺の長さは1なので $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1$$ である。また、$$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }BOC=\mathrm{\angle }COA={60}^{\circ }$$ であるから$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=1\cdot 1\cdot \cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$$である。

点 $P$ は $OA$ の中点であるから $$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a}$$ である。点 $Q$ は $OB$ を $2:1$ に内分するので $$\overrightarrow{OQ}=\frac{2}{3}\vec{b}$$ である。点 $R$ は $OC$ を $1:3$ に内分するので $$\overrightarrow{OR}=\frac{1}{4}\vec{c}$$ である。

(1) $$\overrightarrow{PQ}=\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle ={\mid \frac{2}{3}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{9}\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+\frac{1}{4}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2-2\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot \vec{b})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{9}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{13}{36}}\end{array}$$である。したがって $$PQ=\frac{\sqrt{13}}{6}$$ である。

同様に $$\overrightarrow{PR}=\frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{a}$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{R}^2}& {\displaystyle ={\mid \frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{a}\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{16}+\frac{1}{4}-2\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot \vec{c})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{16}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{3}{16}}\end{array}$$である。よって $$PR=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ である。

(2) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}}& {\displaystyle =(\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a})\cdot (\frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{a})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{6}(\vec{b}\cdot \vec{c})-\frac{1}{3}(\vec{b}\cdot \vec{a})-\frac{1}{8}(\vec{a}\cdot \vec{c})+\frac{1}{4}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{12}-\frac{1}{6}-\frac{1}{16}+\frac{1}{4}=\frac{5}{48}}\end{array}$$である。したがって $$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}=\frac{5}{48}$$ である。

(3)

三角形 $PQR$ の面積を $S$ とする。2辺 $PQ,PR$ とその内積から$$S=\frac{1}{2}\sqrt{P{Q}^{2}P{R}^2-(\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}{)}^2}$$である。ここに (1), (2) の値を代入して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{13}{36}\cdot \frac{3}{16}-{\left(\frac{5}{48}\right)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{13}{192}-\frac{25}{2304}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{156-25}{2304}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{131}}{48}=\frac{\sqrt{131}}{96}}\end{array}$$である。

各点の位置関係は次の通りである。色を付けた三角形が $PQR$ である。

正四面体の4頂点を具体的な直交座標で実現し、内分点の座標を直接求める。2本の辺ベクトルの成分から長さ・内積・面積を順に計算する。

正四面体を具体的な座標で実現して計算する。次の4点を取る。$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle O}& {\displaystyle =(0,0,0),}& {\displaystyle A}& {\displaystyle =(1,0,0),}\\ {\displaystyle B}& {\displaystyle =(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0),}& {\displaystyle C}& {\displaystyle =(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\sqrt{\frac{2}{3}})}\end{array}$$どの2点間の距離も $1$ なので、これは一辺 $1$ の正四面体である。

内分条件から$$P=(\frac{1}{2},0,0),Q=(\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},0),R=(\frac{1}{8},\frac{\sqrt{3}}{24},\frac{\sqrt{6}}{12})$$である。したがって$$\overrightarrow{PQ}=(-\frac{1}{6},\frac{\sqrt{3}}{3},0),\overrightarrow{PR}=(-\frac{3}{8},\frac{\sqrt{3}}{24},\frac{\sqrt{6}}{12})$$となる。

(1)

成分の平方和を取ると$$P{Q}^2=\frac{1}{36}+\frac{1}{3}=\frac{13}{36},P{R}^2=\frac{9}{64}+\frac{1}{192}+\frac{1}{24}=\frac{3}{16}$$だから$$PQ=\frac{\sqrt{13}}{6},PR=\frac{\sqrt{3}}{4}$$である。

(2)

成分ごとの積を足して$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}=\frac{1}{16}+\frac{1}{24}=\frac{5}{48}$$を得る。

(3)

三角形の面積を $S$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{P{Q}^{2}P{R}^2-{(\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR})}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{13}{36}\cdot \frac{3}{16}-{\left(\frac{5}{48}\right)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sqrt{131}}{96}}\end{array}$$である。