九州大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{CA}=A-C=(a,0,-1),\overrightarrow{CB}=B-C=(0,a,-1)$$である。したがって$$\overrightarrow{CP}=s\overrightarrow{CA}+t\overrightarrow{CB}=(as,at,-s-t)$$である。

点Cの座標は $(0,0,1)$ だから、点Pの座標は $$P=C+\overrightarrow{CP}=(as,at,1-s-t)$$ である。

平面と垂線の位置関係を模式的に描くと次のようになる。

(2)
平面 $\alpha$ は、3点 $A(a,0,0)$、$B(0,a,0)$、$C(0,0,1)$ を通るので $${\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{a}+z=1}$$ と表される。この平面の法線方向は ${\displaystyle (\frac{1}{a},\frac{1}{a},1)}$ である。

原点Oから平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足Hは、この法線方向上にあるから $${\displaystyle H=\lambda (\frac{1}{a},\frac{1}{a},1)}$$ とおける。Hが平面上にあることから $${\displaystyle \frac{\lambda \mathrm{/}a}{a}+\frac{\lambda \mathrm{/}a}{a}+\lambda =1}$$ すなわち $${\displaystyle \lambda (\frac{2}{a^2}+1)=1}$$ である。よって $${\displaystyle \lambda =\frac{a^2}{a^2+2}}$$ である。

したがって $${\displaystyle H=(\frac{a}{a^2+2},\frac{a}{a^2+2},\frac{a^2}{a^2+2})}$$ である。

(3)
$a=1$ とする。このとき $$A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$$ であり、平面 $\alpha$ は $x+y+z=1$ である。

まず、AからBへ向かう単位ベクトルは$${\mathbf{e}}_1=\frac{\overrightarrow{AB}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)$$である。次に、平面 $\alpha$ 上で ${\mathbf{e}}_1$ に垂直で、$z$ 成分が正の単位ベクトルを $${\displaystyle {\mathbf{e}}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,-1,2)}$$ と取る。実際に $${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=0,\mathrm{\mid }{\mathbf{e}}_2\mathrm{\mid }=1$$ であり、さらに ${\mathbf{e}}_2$ は $x+y+z=0$ の方向ベクトルなので平面 $\alpha$ に平行である。

点QはAを中心とする半径1の円周上にあり、$\mathrm{\angle }QAB=\theta$ で、$z$ 座標が正である。したがって $$\overrightarrow{AQ}=\cos \theta {\mathbf{e}}_1+\sin \theta {\mathbf{e}}_2$$ と表される。よって$$Q=A+\cos \theta \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)+\sin \theta \frac{1}{\sqrt{6}}(-1,-1,2)$$である。

したがって点Qの座標は$$(1-\frac{\cos \theta }{\sqrt{2}}-\frac{\sin \theta }{\sqrt{6}},\frac{\cos \theta }{\sqrt{2}}-\frac{\sin \theta }{\sqrt{6}},\frac{2\sin \theta }{\sqrt{6}})$$である。$0<\theta <\pi$ なので $\sin \theta >0$ であり、確かに $z$ 座標は正である。