九州大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) 正弦定理より $AB=2R\sin C$ である。$AD\perp BC$ だから$$AD=AB\sin B=2R\sin B\sin C$$である。

また、外心から弦 $BC$ へ下ろした垂線は弦を二等分するので、$E$ は $BC$ の中点である。中心角は $angleBOC=2A$ だから、直角三角形 $OBE$ で $angleBOE=A$ となる。$OB=R$ より$$OE=R\cos A$$である。

(2) 外心 $O$ を原点とし、頂点 $A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ とする。$G=O$ なら$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$$であり、また $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=R$$ である。この式と $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の内積を順に取ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R^2+\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{c}\cdot \vec{a}}& {\displaystyle =0,}\\ {\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}+R^2+\vec{b}\cdot \vec{c}}& {\displaystyle =0,}\\ {\displaystyle \vec{c}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot \vec{c}+R^2}& {\displaystyle =0}\end{array}$$を得る。差を取れば3つの内積は等しく、その値は $-R^2\mathrm{/}2$ である。したがって3つの中心角はすべて ${120}^{\circ }$ であり、それらに対する弦 $AB,BC,CA$ は等しい。よって $\mathrm{△}ABC$ は正三角形である。

(3) $BC$ を水平に置き、$BC$ から $A$ までの高さを $AD=h$ とする。$B,C$ の高さは0、$A$ の高さは $h$ なので、重心 $G$ の高さは3頂点の高さの平均$$\frac{h+0+0}{3}=\frac{AD}{3}$$である。条件 $OG\parallel BC$ より $O$ と $G$ の高さは等しい。三角形は鋭角なので $O$ は $BC$ と同じ側にあり、その高さは $OE$ である。したがって$$OE=\frac{AD}{3},AD=3OE$$を得る。この位置関係は次図のようになる。

(1) の2式を $AD=3OE$ に代入すると$$2R\sin B\sin C=3R\cos A$$である。$R>0$ であり、$$\cos A=-\cos (B+C)=\sin B\sin C-\cos B\cos C$$ だから$$2\sin B\sin C=3(\sin B\sin C-\cos B\cos C)$$となる。よって $$\sin B\sin C=3\cos B\cos C$$ である。鋭角三角形なので $\cos B\cos C>0$ であり、両辺をこれで割ると$$\tan B\tan C=3$$を得る。