九州大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

自然数 $a$ を3で割った余りは $0,1,2$ のいずれかである。それぞれの場合に平方の余りを調べると $0^2\equiv 0,1^2\equiv 1,2^2\equiv 4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。したがって、任意の自然数 $a$ について、$a^2$ を3で割った余りは0か1である。

(2) $a^2+b^2=3c^2$ が成り立つとする。右辺は3の倍数なので $a^2+b^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。(1) より、$a^2$ と $b^2$ の3で割った余りはそれぞれ0または1である。2つの余りの和が3で割って0になるには $a^2\equiv 0,b^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ でなければならない。よって $a,b$ はともに3で割り切れる。

そこで $a=3a_1,b=3b_1$ とおく。もとの式に代入すると $9a_1^2+9b_1^2=3c^2$ であり、両辺を3で割って $3a_1^2+3b_1^2=c^2$ を得る。したがって $c^2$ は3で割り切れる。(1) の結果から、平方が3で割り切れるならもとの数も3で割り切れるので、$c$ も3で割り切れる。

以上より、$a,b,c$ はすべて3で割り切れなければならない。

(3) $a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数 $a,b,c$ が存在すると仮定する。(2) より、$a,b,c$ はすべて3で割り切れる。そこで $$a=3a_1,b=3b_1,c=3c_1$$ とおくと、代入して $9a_1^2+9b_1^2=27c_1^2$ となる。両辺を9で割ると $a_1^2+b_1^2=3c_1^2$ であり、$(a_1,b_1,c_1)$ も同じ形の自然数解である。

すると再び(2)を適用できるので、$a_1,b_1,c_1$ もすべて3で割り切れる。これを繰り返すと、最初の $a,b,c$ は3で何回でも割り切れることになる。しかし正の自然数は、3で割れる回数が有限である。これは矛盾である。

したがって $$a^2+b^2=3c^2\text{ を満たす自然数 }a,b,c\text{ は存在しない}$$ である。