九大 2016年度理系（後期）数学第2問｜問題・解答・解説

方針

条件付き確率は、同じ大きさの順序つき試行結果を数えて求める。(1)では色は分子・分母で同じだけ掛かるので番号だけを数え、和が9で少なくとも1つが3となる順序つき三つ組を $n = 3, 4, n ≧ 5$ に分ける。(2)では「赤の1番」という特定の球を少なくとも1回含む事象を補集合で数え、(3)(4)は得られた有理式の差と最高次の係数を見る。

解答

(1)

番号だけに注目する。3回の取り出しで得られる番号の順序つき三つ組のうち、少なくとも1つが3であるものは $n^{3} - (n - 1)^{3} = 3 n^{2} - 3 n + 1$ 通りである。色の選び方は各回3通りずつあるが、分子にも分母にも同じく $3^{3}$ 倍がかかるため、条件付き確率では打ち消し合う。

次に、番号の和が9で少なくとも1つが3である三つ組を数える。ある1つの位置を3に固定すると、残り2つの番号の和は6である。

$n = 3$ のとき、残り2つは $(3, 3)$ しかないので、三つ組は $(3, 3, 3)$ の1通りである。

$n = 4$ のとき、和が6となる残り2つは $(2, 4), (3, 3), (4, 2)$ である。3の位置の選び方を考えると一度は9通りと数えられるが、 $(3, 3, 3)$ が重複して数えられる。包除原理により $9 - 3 + 1 = 7$ 通りである。

$n ≧ 5$ のとき、和が6となる残り2つは $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ である。3の位置を指定した数え上げと、 $(3, 3, 3)$ の重複補正により $15 - 3 + 1 = 13$ 通りである。

したがって求める条件付き確率は ${\begin{cases} \frac{1}{19} & (n = 3), \\ \frac{7}{37} & (n = 4), \\ \frac{13}{3 n^{2} - 3 n + 1} & (n ≧ 5) \end{cases}$ である。

(2)

3回の取り出しを順序つきで数える。全体では各回 $3 n$ 通りである。赤の1番の球を少なくとも1回含む取り出し方は、補集合を使って $(3 n)^{3} - (3 n - 1)^{3} = 27 n^{2} - 9 n + 1$ 通りである。

そのうち3個とも赤玉で、かつ赤の1番を少なくとも1回含むものは、赤玉だけに限って番号を数えればよい。したがって $n^{3} - (n - 1)^{3} = 3 n^{2} - 3 n + 1$ 通りである。よって $p (n) = \frac{3 n^{2} - 3 n + 1}{27 n^{2} - 9 n + 1}$ である。

(3)

(2) の式について差を調べる。 $p (n + 1) - p (n) = \frac{6 (9 n^{2} + n - 3)}{(27 n^{2} - 9 n + 1) (27 n^{2} + 45 n + 19)}$ である。 $n ≧ 1$ では分母は正であり、分子も $9 n^{2} + n - 3 ≧ 9 + 1 - 3 = 7 > 0$ だから、 $p (n + 1) > p (n)$ である。よって $p (n)$ は $n ≧ 1$ で単調に増加し、最小値は $n = 1$ のときである。 $p (1) = \frac{1}{19}$ したがって $\frac{1}{19}$ が最小値である。

(4)

最高次の係数を比較すれば $\lim_{n \to \infty} p (n) = \lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{2} - 3 n + 1}{27 n^{2} - 9 n + 1} = \frac{1}{9}$ である。

別解

解法2

方針

(1) は和が9となる番号の多重集合を先に分類し，順列数を数える。(2)は事象の個数ではなく，「すべて赤」と「赤1番を少なくとも1回含む」の確率を補集合で直接計算する。(3)は $p (n) - p (1)$ を因数分解して最小値を示す。

解答

(1)
番号の和が9で，少なくとも1つが3である三つ組を，順序を無視して分類する。3を1つ除くと残り2数の和は6だから，可能性は ${3, 3, 3}, {2, 3, 4}, {1, 3, 5}$ だけである。

${3, 3, 3}$ の並べ方は1通り，残り2つは各6通りである。したがって，条件を満たす順序つき三つ組の数は ${\begin{cases} 1 & (n = 3), \\ 1 + 6 = 7 & (n = 4), \\ 1 + 6 + 6 = 13 & (n ≧ 5) . \end{cases}$ 一方，少なくとも1回番号3が出る順序つき三つ組は $n^{3} - (n - 1)^{3} = 3 n^{2} - 3 n + 1$ 通りである。色の選択は条件付き確率の分子・分母で打ち消し合うので，求める確率は ${\begin{cases} \frac{1}{19} & (n = 3), \\ \frac{7}{37} & (n = 4), \\ \frac{13}{3 n^{2} - 3 n + 1} & (n ≧ 5) \end{cases}$ である。

(2)
「3回とも赤」を $A$ ，「赤の1番を少なくとも1回含む」を $B$ とする。各回で赤の1番を引く確率は $1 / (3 n)$ だから $P (B) = 1 - {(1 - \frac{1}{3 n})}^{3} .$ また $A$ の確率は $1 / 27$ であり，すべて赤であるという条件のもとでは番号は $1, \dots, n$ から一様に選ばれる。よって $P (A \cap B) = \frac{1}{27} {1 - {(1 - \frac{1}{n})}^{3}} .$ したがって $\begin{aligned} p (n) & = P (A ∣ B) \\ = \frac{\frac{1}{27} {1 - (1 - 1 / n)^{3}}}{1 - (1 - 1 / (3 n))^{3}} \\ = \frac{3 n^{2} - 3 n + 1}{27 n^{2} - 9 n + 1} . \end{aligned}$ (3) $p (n) - \frac{1}{19} = \frac{6 (n - 1) (5 n - 3)}{19 (27 n^{2} - 9 n + 1)} .$ $n ≧ 1$ では右辺は0以上で，等号は $n = 1$ のときに限る。したがって最小値は $\frac{1}{19}$ である。

(4)
分子・分母を $n^{2}$ で割ると $p (n) = \frac{3 - 3 / n + 1 / n^{2}}{27 - 9 / n + 1 / n^{2}} ⟶ \frac{1}{9} .$

総評

難度7、計算量6。条件付き確率そのものは標準的だが、(1)は番号と色を分けて考える判断、(2)は特定の1個の球を含む列を補集合で数える判断が必要である。目安時間は20分程度。特に(1)では $n = 3, 4, n ≧ 5$ で和が6となる2数の候補数が変わるため、場合分けを省くと誤答になりやすい。(3)は有理式の差を正確に整理して単調性を示すのが採点点で、最小値を極限と混同しないよう注意したい。

出典: 九州大学 2016年度数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

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