Evolton
方針
条件付き確率なので、各問で「条件を満たす取り出し方の数」を分母、「その中で全て赤玉である取り出し方の数」を分子にする。取り出した玉は重さを量ったあとに戻すので、2個・3個は同時に取り出すものとして、組合せで数える。(1) は40g以上が赤または青、(2) は2個で100g以上となる組合せを色の組で分類する。(3) は3個で150g以上となる組合せを赤玉の個数ごとに分類する。
解答
(1)
1個取り出したとき、重さが40g以上であるのは赤玉100gまたは青玉45gの場合である。白玉30gは条件を満たさない。したがって条件を満たす玉は 個であり、そのうち赤玉は5個である。よって求める条件付き確率は である。
(2)
2個を同時に取り出す。重さが100g以上となる色の組を数える。
赤赤は g で条件を満たし、場合の数は である。赤青は g で条件を満たし、場合の数は である。赤白は g で条件を満たし、場合の数は である。一方、青青は90g、青白は75g、白白は60gで、いずれも100g以上ではない。
したがって、条件を満たす取り出し方は 通りであり、そのうち2個とも赤玉である場合は10通りである。よって である。
(3)
3個を同時に取り出す。重さが150g以上となる場合を、赤玉の個数で分ける。
赤玉が3個のときは必ず条件を満たし、場合の数は である。赤玉が2個のときも、残り1個が青でも白でも重さは150g以上である。場合の数はである。
赤玉が1個のとき、残り2個が青青、青白、白白のいずれでも となり、すべて150g以上である。場合の数はである。
赤玉が0個のとき、最大でも青青青で g なので条件を満たさない。したがって、条件を満たす取り出し方は 通りである。そのうち3個とも赤玉である場合は10通りだから、求める確率は である。
総評
難度4、計算量4。目安時間は15分。条件付き確率の分母を「全体の取り出し方」ではなく「指定された重さ以上になる取り出し方」にするのが要点である。2個・3個は同時に取り出すので、順序を区別せず組合せで数える。特に(3)では赤玉1個でも白白を加えて160gとなり条件を満たすため、ここを落とすと分母が小さくなる。各色の組を重さと場合の数で並べると、数え漏れを防げる。
