九州大学 2017年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

定数 $a < 1$ に対し，放物線 $C_{1} : y = 2 x^{2} + 1$ ， $C_{2} : y = - x^{2} + a$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 放物線 $C_{1}$ ， $C_{2}$ の両方に接する2つの直線の方程式をそれぞれ $a$ を用いて表せ。

(2) $C_{1}$ と(1)で求めた2つの直線で囲まれた図形の面積を $S_{1}$ ， $C_{2}$ と(1)で求めた2つの直線で囲まれた図形の面積を $S_{2}$ とするとき， $\frac{S _{2}}{S _{1}}$ を求めよ。

出典：九州大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

解法1

共通接線をそれぞれの放物線上の接点から表す。 $C_{1}$ の接点を $x = u$ ， $C_{2}$ の接点を $x = v$ とし，接線の傾きと切片が一致する条件から $v = - 2 u$ ， $6 u^{2} = 1 - a$ を得る。面積は左右対称性を使い，接線と放物線の差を平方の形にして積分する。最後に比を取るので， $u$ の値そのものより接点間の拡大率に注目する。

解法2

共通接線を $y = m x + b$ とおき，各放物線との交点を与える二次方程式が重解をもつ条件を使う。面積は接点からの距離の二乗として積分し，接点の位置だけで比を求める。

解答

解法1

(1)

$C_{1} : y = 2 x^{2} + 1$ の $x = u$ における接線を求める。導関数は $4 x$ であるから，接線は $y = 4 u (x - u) + 2 u^{2} + 1 = 4 ux - 2 u^{2} + 1$ である。

また $C_{2} : y = - x^{2} + a$ の $x = v$ における接線は，導関数が $- 2 x$ であるから $y = - 2 v (x - v) - v^{2} + a = - 2 v x + v^{2} + a$ である。これらが同じ直線であるためには，傾きと切片が一致すればよいので $4 u = - 2 v, - 2 u^{2} + 1 = v^{2} + a$ が必要十分である。第1式から $v = - 2 u$ であり，これを第2式へ代入すると $- 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2} + a$ すなわち $6 u^{2} = 1 - a$ である。 $a < 1$ より $1 - a > 0$ なので $u = \pm \frac{1 - a}{6}$ を得る。したがって，2つの共通接線は $y = \pm 4 \frac{1 - a}{6} x + 1 - 2 \cdot \frac{1 - a}{6}$ であり，切片を整理して $y = \pm 4 \frac{1 - a}{6} x + \frac{a + 2}{3}$ である。

(2)

$u = \frac{1 - a}{6}$ とおく。 $C_{1}$ では接点が $x = \pm u$ であり，右半分 $0 ≦ x ≦ u$ では上側の境界が $C_{1}$ ，下側の境界が右側の接線 $y = 4 ux - 2 u^{2} + 1$ である。差は $(2 x^{2} + 1) - (4 ux - 2 u^{2} + 1) = 2 (x - u)^{2}$ であるから，左右対称性より $S_{1} = 2 \int_{0}^{u} 2 (x - u)^{2} d x = 4 \int_{0}^{u} (u - x)^{2} d x = \frac{4 u ^{3}}{3}$ である。

一方， $C_{2}$ の接点は $v = - 2 u, 2 u$ である。右半分 $0 ≦ x ≦ 2 u$ で上側の境界は右側の接線，下側の境界は $C_{2}$ であり，差は $(- 4 ux + 4 u^{2} + a) - (- x^{2} + a) = (x - 2 u)^{2}$ である。したがって $S_{2} = 2 \int_{0}^{2 u} (x - 2 u)^{2} d x = 2 \int_{0}^{2 u} (2 u - x)^{2} d x = \frac{16 u ^{3}}{3}$ である。よって $\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{16 u ^{3} /3}{4 u ^{3} /3} = 4$ である。

解法2

(1)

共通接線を $y = m x + b$ とする。 $C_{1}$ との接触条件は

2 x^{2} - m x + 1 - b = 0

が重解をもつことだから，

m^{2} - 8 (1 - b) = 0, b = 1 - \frac{m ^{2}}{8} .

同様に $C_{2}$ との接触条件は

x^{2} + m x + b - a = 0

の判別式が0となることであり，

m^{2} - 4 (b - a) = 0, b = a + \frac{m ^{2}}{4} .

両式から

m^{2} = \frac{8 ( 1 - a )}{3}, b = \frac{a + 2}{3} .

$a < 1$ なので2つの実数の傾きが得られ，共通接線は

y = \pm 4 \frac{1 - a}{6} x + \frac{a + 2}{3}

である。

(2)

$u = (1 - a) /6$ とおく。 $C_{1}$ の接点は $x = \pm u$ で，放物線と接線との差は $2 (x \mp u)^{2}$ となる。したがって

S_{1} = 2 \int_{0}^{u} 2 (u - x)^{2} d x = \frac{4 u ^{3}}{3} .

$C_{2}$ の接点は $x = \pm 2 u$ で，接線と放物線との差は $(x \mp 2 u)^{2}$ だから

S_{2} = 2 \int_{0}^{2 u} (2 u - x)^{2} d x = \frac{16 u ^{3}}{3} .

ゆえに

\frac{S _{2}}{S _{1}} = 4.

九州大学 2017年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

九州大学 2017年度
文系数学前期第1問