九州大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $C_1:y=2x^2+1$の$x=u$における接線を求める。導関数は$4x$であるから，接線は $$y=4u(x-u)+2u^2+1=4ux-2u^2+1$$ である。

また$C_2:y=-x^2+a$の$x=v$における接線は，導関数が$-2x$であるから $$y=-2v(x-v)-v^2+a=-2vx+v^2+a$$ である。これらが同じ直線であるためには，傾きと切片が一致すればよいので $$4u=-2v,-2u^2+1=v^2+a$$ が必要十分である。第1式から$v=-2u$であり，これを第2式へ代入すると $-2u^2+1=4u^2+a$ すなわち $6u^2=1-a$ である。$a<1$より$1-a>0$なので $$u=\pm \sqrt{\frac{1-a}{6}}$$ を得る。したがって，2つの共通接線は $$y=\pm 4\sqrt{\frac{1-a}{6}}x+1-2\cdot \frac{1-a}{6}$$ であり，切片を整理して $$y=\pm 4\sqrt{\frac{1-a}{6}}x+\frac{a+2}{3}$$ である。

(2) $$u=\sqrt{\frac{1-a}{6}}$$ とおく。$C_1$では接点が$x=\pm u$であり，右半分$0\leqq x\leqq u$では上側の境界が$C_1$，下側の境界が右側の接線 $y=4ux-2u^2+1$ である。差は $$(2x^2+1)-(4ux-2u^2+1)=2(x-u{)}^2$$ であるから，左右対称性より $$S_1=2{\int }_0^{u}2(x-u{)}^{2}dx=4{\int }_0^u(u-x{)}^{2}dx=\frac{4u^3}{3}$$ である。

一方，$C_2$の接点は$v=-2u,2u$である。右半分$0\leqq x\leqq 2u$で上側の境界は右側の接線，下側の境界は$C_2$であり，差は $$(-4ux+4u^2+a)-(-x^2+a)=(x-2u{)}^2$$ である。したがって $$S_2=2{\int }_0^{2u}(x-2u{)}^{2}dx=2{\int }_0^{2u}(2u-x{)}^{2}dx=\frac{16u^3}{3}$$ である。よって $$\frac{S_2}{S_1}=\frac{16u^3\mathrm{/}3}{4u^3\mathrm{/}3}=4$$ である。

共通接線を $y=mx+b$ とおき，各放物線との交点を与える二次方程式が重解をもつ条件を使う。面積は接点からの距離の二乗として積分し，接点の位置だけで比を求める。

(1) 共通接線を $y=mx+b$ とする。$C_1$との接触条件は$$2x^2-mx+1-b=0$$が重解をもつことだから，$$m^2-8(1-b)=0,b=1-\frac{m^2}{8}\mathrm{.}$$同様に $C_2$との接触条件は$$x^2+mx+b-a=0$$の判別式が0となることであり，$$m^2-4(b-a)=0,b=a+\frac{m^2}{4}\mathrm{.}$$両式から$$m^2=\frac{8(1-a)}{3},b=\frac{a+2}{3}\mathrm{.}$$$a<1$なので2つの実数の傾きが得られ，共通接線は$$y=\pm 4\sqrt{\frac{1-a}{6}}x+\frac{a+2}{3}$$である。

(2) $$u=\sqrt{(1-a)\mathrm{/}6}$$ とおく。$C_1$の接点は $x=\pm u$ で，放物線と接線との差は $2(x\mp u{)}^2$ となる。したがって$$S_1=2{\int }_0^{u}2(u-x{)}^{2}dx=\frac{4u^3}{3}\mathrm{.}$$$C_2$の接点は $x=\pm 2u$ で，接線と放物線との差は $(x\mp 2u{)}^2$ だから$$S_2=2{\int }_0^{2u}(2u-x{)}^{2}dx=\frac{16u^3}{3}\mathrm{.}$$ゆえに$$\frac{S_2}{S_1}=4.$$