九州大学 2017年度
文系数学 前期 第2問

解答

解法1

(1)

$a=1$のとき$A(1,1)$である。$△OAB$が正三角形であるためには，$B$は点$A$を原点のまわりに$60^{\circ }$または$-60^{\circ }$回転した点である。

点$(x,y)$を$60^{\circ }$回転すると $\left(\frac{x-\sqrt{3}y}{2},\frac{\sqrt{3}x+y}{2}\right)$ となる。したがって$(1,1)$を回転して $\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$ を得る。また$-60^{\circ }$回転では $\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)$ を得る。よって求める$(s,t)$は

である。

(2)

$\sqrt{3}$が有理数であると仮定する。互いに素な自然数$m,n$を用いて $\sqrt{3}=\frac{m}{n}$ と表せるとする。このとき $m^2=3n^2$ であるから，$m^2$は3の倍数である。よって$m$も3の倍数であり，$m=3r$とおける。すると $9r^2=3n^2$ より $n^2=3r^2$ であるから，$n$も3の倍数である。これは$m,n$が互いに素であることに反する。したがって$\sqrt{3}$は無理数である。

(3)

$△OAB$が正三角形であるとき，$B$は$A(1,a)$を原点のまわりに$\pm 60^{\circ }$回転した点である。したがって $(s,t)=\left(\frac{1-a\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+a}{2}\right)$ または $(s,t)=\left(\frac{1+a\sqrt{3}}{2},\frac{a-\sqrt{3}}{2}\right)$ である。

ここで$a$は有理数であるとする。もし$s,t$がともに有理数であれば，第1の場合には $\sqrt{3}=2t-a$ となり，第2の場合には $\sqrt{3}=a-2t$ となる。いずれの場合も右辺は有理数であるから，$\sqrt{3}$が有理数になってしまう。これは(2)に反する。よって$s$と$t$のうち少なくとも1つは無理数である。

解法2

(1)

$O{A}^2=2$ である。正三角形の条件

は

であり，差を取ると $s+t=1$ となる。よって $st=-1/2$ で，$s,t$ は

の2根である。したがって

(2)

$\sqrt{3}=m/n$ と既約分数で表せると仮定すると $m^2=3n^2$ である。平方数を3で割った余りは0または1なので，$m^2$が3の倍数なら $m$も3の倍数である。$m=3r$ とおけば $n^2=3r^2$ となり $n$も3の倍数となる。既約性に反するので $\sqrt{3}$ は無理数である。

(3)

正三角形の面積を2通りに表す。底辺 $OA$ の長さは $\sqrt{1+a^2}$ だから，

一方，座標による面積は

したがって

もし $a,s,t$ がすべて有理数なら左辺は有理数であるが，右辺は0でない有理数と無理数 $\sqrt{3}$ の積であり無理数となる。矛盾するので，$s,t$ の少なくとも一方は無理数である。