九州大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $a=1$のとき$A(1,1)$である。$\mathrm{△}OAB$が正三角形であるためには，$B$は点$A$を原点のまわりに${60}^{\circ }$または$-{60}^{\circ }$回転した点である。

点$(x,y)$を${60}^{\circ }$回転すると $(\frac{x-\sqrt{3}y}{2},\frac{\sqrt{3}x+y}{2})$ となる。したがって$(1,1)$を回転して $(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2})$ を得る。また$-{60}^{\circ }$回転では $(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2})$ を得る。よって求める$(s,t)$は$$(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2}),(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2})$$である。

(2) $\sqrt{3}$が有理数であると仮定する。互いに素な自然数$m,n$を用いて $$\sqrt{3}=\frac{m}{n}$$ と表せるとする。このとき $m^2=3n^2$ であるから，$m^2$は3の倍数である。よって$m$も3の倍数であり，$m=3r$とおける。すると $9r^2=3n^2$ より $n^2=3r^2$ であるから，$n$も3の倍数である。これは$m,n$が互いに素であることに反する。したがって$\sqrt{3}$は無理数である。

(3) $\mathrm{△}OAB$が正三角形であるとき，$B$は$A(1,a)$を原点のまわりに$\pm {60}^{\circ }$回転した点である。したがって $$(s,t)=(\frac{1-a\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+a}{2})$$ または $$(s,t)=(\frac{1+a\sqrt{3}}{2},\frac{a-\sqrt{3}}{2})$$ である。

ここで$a$は有理数であるとする。もし$s,t$がともに有理数であれば，第1の場合には $\sqrt{3}=2t-a$ となり，第2の場合には $\sqrt{3}=a-2t$ となる。いずれの場合も右辺は有理数であるから，$\sqrt{3}$が有理数になってしまう。これは(2)に反する。よって$s$と$t$のうち少なくとも1つは無理数である。

(1) は3辺の長さが等しい条件を座標で連立する。(2)は3で割った余りを用いる背理法で示す。(3)は正三角形の面積を行列式で表し，有理数だけを仮定すると $\sqrt{3}$ が有理数になることを導く。

(1) $O{A}^2=2$ である。正三角形の条件$$O{B}^2=2,A{B}^2=2$$は$$s^2+t^2=2,(s-1{)}^2+(t-1{)}^2=2$$であり，差を取ると $s+t=1$ となる。よって $st=-1\mathrm{/}2$ で，$s,t$ は$$X^2-X-\frac{1}{2}=0$$の2根である。したがって$$(s,t)=(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2}),(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2})\mathrm{.}$$(2) $\sqrt{3}=m\mathrm{/}n$ と既約分数で表せると仮定すると $m^2=3n^2$ である。平方数を3で割った余りは0または1なので，$m^2$が3の倍数なら $m$も3の倍数である。$m=3r$ とおけば $n^2=3r^2$ となり $n$も3の倍数となる。既約性に反するので $\sqrt{3}$ は無理数である。

(3) 正三角形の面積を2通りに表す。底辺 $OA$ の長さは $\sqrt{1+a^2}$ だから，$$[\mathrm{△}OAB]=\frac{\sqrt{3}}{4}(1+a^2)\mathrm{.}$$一方，座標による面積は$$[\mathrm{△}OAB]=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }t-as\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\mid }t-as\mathrm{\mid }=\frac{\sqrt{3}}{2}(1+a^2)\mathrm{.}$$もし $a,s,t$ がすべて有理数なら左辺は有理数であるが，右辺は0でない有理数と無理数 $\sqrt{3}$ の積であり無理数となる。矛盾するので，$s,t$ の少なくとも一方は無理数である。