九州大学 2017年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

AとBの2人がA，B，A，B， $\dots$ の順にさいころを投げ，先に3以上の目を出した人を勝者として勝敗を決め，さいころ投げを終える。以下では，さいころを投げた回数とはAとBが投げた回数の和のこととする。2と3の常用対数を $lo g_{10} 2 = 0.301$ ， $lo g_{10} 3 = 0.477$ として，以下の問いに答えよ。

(1) さいころを投げた回数が $n$ 回以下では勝敗が決まらない確率 $p_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ を求めよ。さらに， $p_{n}$ が0.005より小さくなる最小の $n$ を求めよ。

(2) さいころを投げた回数が3以下でAが勝つ確率を求めよ。

(3) 自然数 $k$ に対し，さいころを投げた回数が $2 k + 1$ 回以下でAが勝つ確率を求めよ。

出典：九州大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

解法1

3以上が出る確率を $2/3$ ，勝敗が決まらず次へ進む確率を $1/3$ として，試行回数で場合を分ける。(1)は最初の $n$ 回すべて失敗する確率を求め， $3^{n} > 200$ で最小 $n$ を判定する。(2)(3)はAが勝つ回が奇数回目に限られることを使い， $2 j$ 回失敗した後にAが成功する確率の等比和を取る。

解法2

各投球で勝敗が続く確率を $1/3$ とし，投球番号の偶奇で担当者を判定する。(3)は「2投を1組」と見て，Aが勝つ確率の漸化式を解く。

解答

解法1

1回のさいころ投げで3以上が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ であり，3未満が出て勝敗が決まらない確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。

(1)

$n$ 回以下で勝敗が決まらないためには，最初の $n$ 回すべてで3未満の目が出ればよい。よって $p_{n} = (\frac{1}{3})^{n}$ である。

次に $p_{n} < 0.005 = \frac{1}{200}$ となる最小の $n$ を求める。これは $(\frac{1}{3})^{n} < \frac{1}{200}$ すなわち $3^{n} > 200$ と同値である。 $3^{4} = 81$ ， $3^{5} = 243$ より，最小の $n$ は $5$ である。

(2)

Aが3回以下で勝つのは，1回目にAが3以上を出す場合，または1回目と2回目がともに3未満で，3回目にAが3以上を出す場合である。したがって求める確率は

\frac{2}{3} + (\frac{1}{3})^{2} \frac{2}{3} = \frac{18}{27} + \frac{2}{27} = \frac{20}{27}

である。

(3)

Aが勝つのは1回目，3回目，5回目， $\dots$ のような奇数回目である。 $2 j + 1$ 回目にAが勝つには，その前の $2 j$ 回ではすべて3未満が出て， $2 j + 1$ 回目に3以上が出ればよい。したがってその確率は $(\frac{1}{3})^{2 j} \frac{2}{3}$ である。 $2 k + 1$ 回以下でAが勝つ確率は， $j = 0, 1, \dots, k$ について足せばよいので

j = 0 \sum k (\frac{1}{3})^{2 j} \frac{2}{3} = \frac{2}{3} j = 0 \sum k (\frac{1}{9})^{j} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{9} ) ^{k + 1}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4} (1 - \frac{1}{9 ^{k + 1}})

である。

解法2

(1)

1回で3未満が出る確率は $1/3$ である。最初の $n$ 回すべてで勝敗が決まらない確率は

p_{n} = (\frac{1}{3})^{n} .

$p_{n} < 0.005 = 1/200$ は $3^{n} > 200$ と同値である。 $3^{4} = 81 < 200 < 243 = 3^{5}$ なので，最小の $n$ は $5$ である。

(2)

Aは1回目に勝つか，2回続けて3未満の後の3回目に勝つ。よって

\frac{2}{3} + (\frac{1}{3})^{2} \frac{2}{3} = \frac{20}{27} .

(3)

$2 k + 1$ 回以下でAが勝つ確率を $A_{k}$ とする。最初の投球でAが勝つ確率は $2/3$ であり，A,Bがともに3未満なら確率 $1/9$ で同じ状態に戻る。したがって

A_{k} = \frac{2}{3} + \frac{1}{9} A_{k - 1}, A_{0} = \frac{2}{3} .

これを繰り返すと

A_{k} = \frac{2}{3} (1 + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{9 ^{k}}) = \frac{3}{4} (1 - \frac{1}{9 ^{k + 1}}) .

九州大学 2017年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

九州大学 2017年度
文系数学前期第3問