九州大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

1回のさいころ投げで3以上が出る確率は $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ であり，3未満が出て勝敗が決まらない確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ である。

(1) $n$回以下で勝敗が決まらないためには，最初の$n$回すべてで3未満の目が出ればよい。よって $$p_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$ である。

次に $p_n<0.005=\frac{1}{200}$ となる最小の$n$を求める。これは $${\left(\frac{1}{3}\right)}^n<\frac{1}{200}$$ すなわち $3^n>200$ と同値である。$3^4=81$，$3^5=243$より，最小の$n$は $5$ である。

(2)
Aが3回以下で勝つのは，1回目にAが3以上を出す場合，または1回目と2回目がともに3未満で，3回目にAが3以上を出す場合である。したがって求める確率は$$\frac{2}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\frac{2}{3}=\frac{18}{27}+\frac{2}{27}=\frac{20}{27}$$である。

(3)
Aが勝つのは1回目，3回目，5回目，$\dots$のような奇数回目である。$2j+1$回目にAが勝つには，その前の$2j$回ではすべて3未満が出て，$2j+1$回目に3以上が出ればよい。したがってその確率は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2j}\frac{2}{3}$ である。 $2k+1$回以下でAが勝つ確率は，$j=0,1,\dots ,k$について足せばよいので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{j=0}^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2j}\frac{2}{3}}& {\displaystyle =\frac{2}{3}\sum _{j=0}^k{\left(\frac{1}{9}\right)}^j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{3}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{9}\right)}^{k+1}}{1-\frac{1}{9}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{4}(1-\frac{1}{9^{k+1}})}\end{array}$$である。

各投球で勝敗が続く確率を $1\mathrm{/}3$ とし，投球番号の偶奇で担当者を判定する。(3)は「2投を1組」と見て，Aが勝つ確率の漸化式を解く。

(1) 1回で3未満が出る確率は $1\mathrm{/}3$ である。最初の $n$ 回すべてで勝敗が決まらない確率は$$p_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n\mathrm{.}$$$p_n<0.005=1\mathrm{/}200$ は $3^n>200$ と同値である。$3^4=81<200<243=3^5$ なので，最小の $n$ は $5$ である。

(2) Aは1回目に勝つか，2回続けて3未満の後の3回目に勝つ。よって$$\frac{2}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\frac{2}{3}=\frac{20}{27}\mathrm{.}$$(3) $2k+1$ 回以下でAが勝つ確率を $A_k$ とする。最初の投球でAが勝つ確率は $2\mathrm{/}3$ であり，A,Bがともに3未満なら確率 $1\mathrm{/}9$ で同じ状態に戻る。したがって$$A_k=\frac{2}{3}+\frac{1}{9}{A}_{k-1},A_0=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$これを繰り返すと$$A_k=\frac{2}{3}(1+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{9^k})=\frac{3}{4}(1-\frac{1}{9^{k+1}})\mathrm{.}$$