九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

3が出た回数を $h$ とする。ただし $0\leqq h\leqq 10$ である。このとき8が出た回数は $10-h$ だから、出た数字10個の積は $$3^h{8}^{10-h}=3^h{2}^{30-3h}$$ である。常用対数を取ると、与えられた値より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\log }_{10}\left(3^h{8}^{10-h}\right)}& {\displaystyle =h{\log }_{10}3+(30-3h){\log }_{10}2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.4771h+0.3010(30-3h)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9.0300-0.4259h}\end{array}$$である。

正の整数 $N$ が8桁であることは ${10}^7\leqq N<{10}^8$ と同値である。したがって常用対数で表すと $7\leqq {\log }_{10}N<8$ である。今回の積が8桁である条件は $7\leqq 9.0300-0.4259h<8$ である。これを $h$ について解くと $$\frac{1.0300}{0.4259}<h\leqq \frac{2.0300}{0.4259}$$ であり、数値を見れば $$2.4\cdots <h\leqq 4.7\cdots$$ となる。よって整数 $h$ として可能なのは $h=3,h=4$ だけである。

硬貨の各回は独立で、3が出る回数が $h$ である確率は $\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_h}{2^{10}}$ である。したがって求める確率は$$\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_3+{}_{10}{\mathrm{C}}_4}{2^{10}}=\frac{120+210}{1024}=\frac{165}{512}$$である。

3が出る回数を増やすと積は毎回 $3\mathrm{/}8$ 倍になる。8桁と9桁の境界付近だけを整数で直接計算し、単調性によって候補を確定する。最後に該当回数の並べ方を数える。

3が $h$ 回出たときの積を $A_h=3^h{8}^{10-h}$ とする。このとき$$\frac{A_{h+1}}{A_h}=\frac{3}{8}<1$$だから、$A_h$ は $h$ とともに狭義に減少する。8桁との境界付近を直接計算すると$$\begin{array}{cc}h& A_h\\ 2& 150994944\\ 3& 56623104\\ 4& 21233664\\ 5& 7962624\end{array}$$である。したがって、積が8桁になるのは $h=3,4$ のときに限る。

3が $h$ 回出る並びは ${}_{10}{\mathrm{C}}_h$ 通りで、全事象は $2^{10}$ 通りである。よって求める確率は$$\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_3+{}_{10}{\mathrm{C}}_4}{2^{10}}=\frac{120+210}{1024}=\frac{165}{512}$$である。