問題
表に3，裏に8が書かれた硬貨がある。この硬貨を10回投げるとき，出た数字10個の積が8桁になる確率を求めよ。ただし，，とする。
出典：九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
解法1
3が出た回数を とすれば、8が出た回数は である。積そのものは巨大になるが、桁数は常用対数で判定できる。8桁の正整数は常用対数が に入る数なので、 の常用対数を与えられた値で一次式に直し、整数 の範囲を絞る。最後は該当する について二項係数を足す。
解法2
3が出る回数を増やすと積は毎回 倍になる。8桁と9桁の境界付近だけを整数で直接計算し、単調性によって候補を確定する。最後に該当回数の並べ方を数える。
解答
解法1
3が出た回数を とする。ただし である。このとき8が出た回数は だから、出た数字10個の積は である。常用対数を取ると、与えられた値より
である。
正の整数 が8桁であることは と同値である。したがって常用対数で表すと である。今回の積が8桁である条件は である。これを について解くと であり、数値を見れば となる。よって整数 として可能なのは だけである。
硬貨の各回は独立で、3が出る回数が である確率は である。したがって求める確率は
である。
解法2
3が 回出たときの積を とする。このとき
だから、 は とともに狭義に減少する。8桁との境界付近を直接計算すると
である。したがって、積が8桁になるのは のときに限る。
3が 回出る並びは 通りで、全事象は 通りである。よって求める確率は
である。