九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$\overrightarrow{AB}=(2,0,0),\overrightarrow{AC}=(3,3,3)$$ である。平面 $\alpha$ の法線ベクトルを $(0,1,-1)$ ととれるので、$A(1,2,3)$ を通る平面 $\alpha$ は $y-z+1=0$ である。実際、$A,B,C$ のいずれもこの方程式を満たす。

点 $P(6,p,q)$ から平面 $y-z+1=0$ までの距離は、点と平面の距離公式より $$PH=\frac{\mathrm{\mid }p-q+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{\mathrm{\mid }p-q+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}$$ である。

(2)
底面 $ABC$ の面積を求める。$$\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$$、$$\overrightarrow{AC}=(3,3,3)$$ であり、これらがつくる平行四辺形の面積は $$\sqrt{0^2+(-6{)}^2+6^2}=6\sqrt{2}$$ である。したがって三角形 $ABC$ の面積は $3\sqrt{2}$ である。

よって四面体 $ABCP$ の体積 $V$ は $$V=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\mathrm{\mid }p-q+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}=\mathrm{\mid }p-q+1\mathrm{\mid }$$ である。

条件 $(p-9{)}^2+(q-7{)}^2=1$ を $$p=9+u,q=7+v,u^2+v^2=1$$ とおく。このとき $p-q+1=3+u-v$ である。ここで $$\mathrm{\mid }u-v\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$$ であるから $3-\sqrt{2}\leqq 3+u-v\leqq 3+\sqrt{2}$ となる。特に $3-\sqrt{2}>0$ なので絶対値は外してよい。

等号は、$(u,v)$ が $(1,-1)$ と同じ向き、または反対向きのときに成立する。すなわち $$(u,v)=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$$ で最大、$$(u,v)=(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$$ で最小をとる。したがって体積の最大値と最小値はそれぞれ $3+\sqrt{2},3-\sqrt{2}$ である。

別解。円上の点を $$p=9+\cos \theta ,q=7+\sin \theta$$ とおいてもよい。このとき$$p-q+1=3+\cos \theta -\sin \theta =3+\sqrt{2}\cos (\theta +\frac{\pi }{4})$$となるので、最大値と最小値は同じく $3+\sqrt{2}$、$3-\sqrt{2}$ である。

平面と底面積を求めた後、円周上の点を三角関数で媒介する。体積を $3+\cos \theta -\sin \theta$ と表し、三角関数の合成から最大値・最小値と等号成立点を読む。

(1) $$\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$$、$$\overrightarrow{AC}=(3,3,3)$$ より、平面 $\alpha$ の法線ベクトルは $(0,1,-1)$ ととれる。したがって$$\alpha :y-z+1=0$$であり、点と平面の距離公式から$$PH=\frac{\mathrm{\mid }p-q+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}$$である。

(2)
底面積は$$[\mathrm{△}ABC]=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=3\sqrt{2}$$だから、四面体の体積は$$V=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\mathrm{\mid }p-q+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}=\mathrm{\mid }p-q+1\mathrm{\mid }$$となる。円周上の点を$$p=9+\cos \theta ,q=7+\sin \theta$$と表すと$$p-q+1=3+\cos \theta -\sin \theta =3+\sqrt{2}\cos (\theta +\frac{\pi }{4})$$である。最小値も $3-\sqrt{2}>0$ なので、絶対値は常に外せる。よって$$3-\sqrt{2}\leqq V\leqq 3+\sqrt{2}$$である。

したがって、体積の最大値は $3+\sqrt{2}$、最小値は $3-\sqrt{2}$ である。