九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$f(x)=x^3-k{x}^2+kx+1$ とおく。導関数は $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2kx+k$ である。極大値と極小値をもつためには、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつ必要がある。したがって判別式より $$(-2k{)}^2-4\cdot 3\cdot k>0$$ すなわち $4k(k-3)>0$ である。よって、極値をもつための範囲は $k<0$ または $k>3$ である。

この範囲で、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ の2解を$$\alpha =\frac{k-\sqrt{k(k-3)}}{3},\beta =\frac{k+\sqrt{k(k-3)}}{3}$$とおく。$\alpha <\beta$ であり、3次関数の最高次係数は正なので、$x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小をとる。

ここで $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-\alpha )(x-\beta )$$ である。区間 $\alpha <x<\beta$ では $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ だから $$f(\alpha )-f(\beta )=-{\int }_{\alpha }^{\beta }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx$$ である。$d=\beta -\alpha$ とおくと $$d=\frac{2\sqrt{k(k-3)}}{3}$$ であり、$$u=x-\frac{\alpha +\beta }{2}$$ と置き換えると $$(x-\alpha )(x-\beta )=u^2-\frac{d^2}{4}$$ となる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(\alpha )-f(\beta )}& {\displaystyle ={\int }_{-d\mathrm{/}2}^{d\mathrm{/}2}3(\frac{d^2}{4}-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{d^3}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{27}\{k(k-3){\}}^{3\mathrm{/}2}}\end{array}$$である。

条件より $$\frac{4}{27}\{k(k-3){\}}^{3\mathrm{/}2}=4\mathrm{\mid }k{\mathrm{\mid }}^3$$ である。$k\mathrm{\ne }0$ なので、両辺を4で割って整理すると $$\{k(k-3){\}}^{3\mathrm{/}2}=27\mathrm{\mid }k{\mathrm{\mid }}^3$$ となる。極値をもつ範囲では $k(k-3)>0$ であり、これは $$\mathrm{\mid }k{\mathrm{\mid }}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{\mid }k-3{\mathrm{\mid }}^{3\mathrm{/}2}=27\mathrm{\mid }k{\mathrm{\mid }}^3$$ と書ける。さらに $\mathrm{\mid }k{\mathrm{\mid }}^{3\mathrm{/}2}$ で割って、両辺を $2\mathrm{/}3$ 乗すると $\mathrm{\mid }k-3\mathrm{\mid }=9\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }$ を得る。 $k<0$ のときは $3-k=-9k$ より $k=-\frac{3}{8}$ である。これは $k<0$ を満たす。$k>3$ のときは $k-3=9k$ より $k=-\frac{3}{8}$ となり、$k>3$ に反する。したがって $k=-\frac{3}{8}$ である。

別解。極値差の計算だけは、$$x=\frac{k}{3}+u$$ と平行移動してもよい。このとき $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3u^2-\frac{k(k-3)}{3}$$ であるから、停留点は $$u=\pm \frac{\sqrt{k(k-3)}}{3}$$ である。中央から左右対称な2点の間で $-f^{\mathrm{\prime }}(x)$ を積分すれば、上と同じく $$f(\alpha )-f(\beta )=\frac{4}{27}\{k(k-3){\}}^{3\mathrm{/}2}$$ が直ちに出る。

導関数の軸が $x=k\mathrm{/}3$ であることを利用し、$x=k\mathrm{/}3+u$ と平行移動する。2つの停留点が $u=\pm a$ と対称に現れるため、極値差を中央対称な区間の積分で一度に求める。

導関数は$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2kx+k$$である。異なる2つの実数解をもつ条件は$$4k(k-3)>0$$だから、まず $k<0$ または $k>3$ が必要である。

$x=k\mathrm{/}3+u$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3u^2-\frac{k(k-3)}{3}=3(u^2-a^2),a=\frac{\sqrt{k(k-3)}}{3}$$となる。停留点は $u=-a,a$ であり、その間では $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。したがって極大値と極小値の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle -{\int }_{-a}^{a}3(u^2-a^2)du}& {\displaystyle =3{\int }_{-a}^a(a^2-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4a^3=\frac{4}{27}\{k(k-3){\}}^{3\mathrm{/}2}}\end{array}$$である。条件より$$\frac{4}{27}\{k(k-3){\}}^{3\mathrm{/}2}=4\mathrm{\mid }k{\mathrm{\mid }}^3$$である。両辺を4で割って $2\mathrm{/}3$ 乗すると$$k(k-3)=9k^2$$を得る。極値をもつ場合は $k\mathrm{\ne }0$ なので、整理して$$k=-\frac{3}{8}$$となる。これは $k<0$ を満たすから、求める値は $k=-3\mathrm{/}8$ である。