九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
2つの曲線の差をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C_2-C_1}& {\displaystyle =3(x-a{)}^2+a^3-40-x^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2x^2-6ax+3a^2+a^3-40}\end{array}$$である。交点の $x$ 座標は $2x^2-6ax+3a^2+a^3-40=0$ の解であり、異なる2点で交わる条件はこの二次方程式の判別式が正であることである。

判別式を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =(-6a{)}^2-4\cdot 2(3a^2+a^3-40)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =36a^2-24a^2-8a^3+320}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-8a^3+12a^2+320}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-4(a-4)(2a^2+5a+20)}\end{array}$$である。ここで $2a^2+5a+20>0$ であるから、$D>0$ は $a<4$ と同値である。条件 $a\geqq 0$ と合わせて $${\displaystyle 0\leqq a<4}$$ を得る。

(2) $k=-2a^3+3a^2+80$ とおく。(1)の範囲では $k>0$ であり、交点の $x$ 座標は $$\alpha =\frac{3a-\sqrt{k}}{2},\beta =\frac{3a+\sqrt{k}}{2}$$ である。交点間では $C_2-C_1$ は上に開く二次式で負になるので、$C_1$ が $C_2$ より上にある。 $$u=x-\frac{3a}{2}$$ とおくと、$\alpha \leqq x\leqq \beta$ は $$-\frac{\sqrt{k}}{2}\leqq u\leqq \frac{\sqrt{k}}{2}$$ に対応し、$$C_1-C_2=\frac{k}{2}-2u^2$$ となる。したがって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{k}\mathrm{/}2}^{\sqrt{k}\mathrm{/}2}(\frac{k}{2}-2u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{k}{2}u-\frac{2}{3}{u}^3]}_{-\sqrt{k}\mathrm{/}2}^{\sqrt{k}\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{k\sqrt{k}}{2}-\frac{k\sqrt{k}}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}{k}^{3\mathrm{/}2}}\end{array}$$である。よって $S$ を最大にするには、$k=-2a^3+3a^2+80$ を最大にすればよい。 $k^{\mathrm{\prime }}(a)=-6a^2+6a=6a(1-a)$ であるから、$0<a<1$ で増加、$1<a<4$ で減少する。また $$k(0)=80,k(1)=81,\underset{a\to 4-0}{\lim }k(a)=0$$ である。したがって最大は $a=1$ のときで、$k=81$ である。ゆえに $$S_{\max }=\frac{1}{3}\cdot {81}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle 243}$$ である。

交点方程式の2根を $\alpha <\beta$ とし、曲線の上下差を $2(x-\alpha )(\beta -x)$ と因数表示する。根の差だけで面積が決まる公式を積分で確認し、判別式から $\beta -\alpha$ を求めて最大化する。

(1)
交点の $x$ 座標は$$2x^2-6ax+3a^2+a^3-40=0$$の解である。その判別式は$$D=(-6a{)}^2-8(3a^2+a^3-40)=-4(a-4)(2a^2+5a+20)$$となる。$2a^2+5a+20>0$ だから、異なる2実根をもつ条件は $a<4$ である。$a\geqq 0$ と合わせて$$0\leqq a<4$$を得る。

(2)
交点方程式の2根を $\alpha <\beta$ とすると、交点間では$$C_1-C_2=2(x-\alpha )(\beta -x)$$である。したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、二次方程式の根の差は$$\beta -\alpha =\frac{\sqrt{D}}{2}=\sqrt{-2a^3+3a^2+80}$$である。ここで$$k(a)=-2a^3+3a^2+80$$とおけば$$S=\frac{1}{3}k(a{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$$0\leqq a<4$ では $k(a)>0$ なので、$S$ と $k$ の増減は一致する。さらに$$k^{\mathrm{\prime }}(a)=6a(1-a)$$より、$k$ は $0<a<1$ で増加し、$1<a<4$ で減少する。よって $a=1$ で最大となり$$S_{\max }=\frac{1}{3}\cdot {81}^{3\mathrm{/}2}=243$$である。

面積公式の形は、交点の中点 $u=(\alpha +\beta )\mathrm{/}2$ を中心に見ると次のようになる。