問題
とする。2つの放物線，を考える。以下の問いに答えよ。
(1) とが異なる2点で交わるような定数の値の範囲を求めよ。
(2) が(1)で求めた範囲を動くとき，とで囲まれた図形の面積の最大値を求めよ。
方針
解法1（交点の中点で平方完成して積分する）
2曲線の差を二次式として調べ、判別式から交点条件を得る。交点の中点 を原点とする変数に移すと、囲まれた部分の高さが左右対称な放物線になる。面積を積分した後、残った1変数 を微分して最大化する。
解法2（根の間の面積公式を使う）
交点方程式の2根を とし、曲線の上下差を と因数表示する。根の差だけで面積が決まる公式を積分で確認し、判別式から を求めて最大化する。
解答
解法1（交点の中点で平方完成して積分する）
(1)
2つの曲線の差をとると
である。交点の 座標は の解であり、異なる2点で交わる条件はこの二次方程式の判別式が正であることである。
判別式を計算すると
である。ここで であるから、 は と同値である。条件 と合わせて を得る。
(2)
とおく。(1)の範囲では であり、交点の 座標は である。交点間では は上に開く二次式で負になるので、 が より上にある。 とおくと、 は に対応し、 となる。したがって面積 は
である。よって を最大にするには、 を最大にすればよい。 であるから、 で増加、 で減少する。また である。したがって最大は のときで、 である。ゆえに である。
解法2（根の間の面積公式を使う）
(1)
交点の 座標は
の解である。その判別式は
となる。 だから、異なる2実根をもつ条件は である。 と合わせて
を得る。
(2)
交点方程式の2根を とすると、交点間では
である。したがって面積は
一方、二次方程式の根の差は
である。ここで
とおけば
では なので、 と の増減は一致する。さらに
より、 は で増加し、 で減少する。よって で最大となり
である。
面積公式の形は、交点の中点 を中心に見ると次のようになる。