九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$\omega =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$ とおく。すると ${\omega }^2-\omega +1=0$ である。$f(x)$ は整数係数、特に実係数の整式なので、$\omega$ が解なら共役複素数 $\bar{\omega }$ も解である。したがって $x^2-x+1$ が $f(x)$ の因数である。 $f(x)$ は最高係数1の三次式なので $f(x)=(x^2-x+1)(x+m)$ と書ける。展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^3+(m-1)x^2+(1-m)x+m}\end{array}$$である。定数項を比べると $m=c$ であるから $${\displaystyle a=c-1,b=1-c}$$ である。

(2)
(1)より $f(1)=1+a+b+c=c+1$ であり、$f(-1)=-1+a-b+c=3c-3$ である。条件から $c+1\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),3c-3\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ となる。すなわち $c\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),3c\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ である。$3^{-1}\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ なので $c\equiv 9(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ を得る。 $c=7u+3$ とおくと、$7u+3\equiv 9(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ より $7u\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ である。$7^{-1}\equiv 8(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ だから $u\equiv 48\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ であり、$$c=31+77v(v\in \mathbb{Z})$$ となる。$\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }\leqq 40$ より $c=31$ だけが残る。

したがって $f(x)=(x^2-x+1)(x+31)$ である。求める解は$${\displaystyle x=-31,x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2},x=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}}$$である。

${\omega }^2=\omega -1$、${\omega }^3=-1$ を使い、$f(\omega )$ を1次式 $A\omega +B$ に落とす。非実数 $\omega$ に対して $A\omega +B=0$ となるための条件を係数ごとに求め、合同条件は候補列を突き合わせて解く。

(1)
$\omega =(1+\sqrt{3}i)\mathrm{/}2$ とおくと$${\omega }^2=\omega -1,{\omega }^3=-1$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(\omega )}& {\displaystyle ={\omega }^3+a{\omega }^2+b\omega +c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a+b)\omega +(c-a-1)\mathrm{.}}\end{array}$$$a+b$ と $c-a-1$ は実数で、$\omega$ は非実数だから、$f(\omega )=0$ となるには両係数が0でなければならない。よって$$a+b=0,c-a-1=0,$$すなわち$$a=c-1,b=1-c$$である。

(2)
このとき$$f(1)=c+1,f(-1)=3c-3.$$条件より$$c\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),c\equiv 9(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }\leqq 40$ の範囲で第1式を満たす候補は$$-39,-32,-25,-18,-11,-4,3,10,17,24,31,38$$であり、このうち $11$ で割って9余るものは $c=31$ だけである。

したがって$$f(x)=(x^2-x+1)(x+31)$$となり、すべての解は$$x=-31,x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2},x=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$$である。