問題
を整数とし，を虚数単位とする。整式がをみたすとき，以下の問いに答えよ。
(1) をを用いて表せ。
(2) を7で割ると4余り，を11で割ると2余るとする。の絶対値が40以下であるとき，方程式の解をすべて求めよ。
出典：九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
解法1（共役解から因数分解する）
の共役も解であることから、実係数多項式 が を因数にもつと判断する。係数比較で を で表し、2本の合同式を中国剰余型にまとめ、範囲条件で を一意に決める。
解法2（ωの累乗を簡約して剰余を0にする）
、 を使い、 を1次式 に落とす。非実数 に対して となるための条件を係数ごとに求め、合同条件は候補列を突き合わせて解く。
解答
解法1（共役解から因数分解する）
(1)
とおく。すると である。 は整数係数、特に実係数の整式なので、 が解なら共役複素数 も解である。したがって が の因数である。 は最高係数1の三次式なので と書ける。展開すると
である。定数項を比べると であるから である。
(2)
(1)より であり、 である。条件から となる。すなわち である。 なので を得る。 とおくと、 より である。 だから であり、 となる。 より だけが残る。
したがって である。求める解は
である。
解法2（ωの累乗を簡約して剰余を0にする）
(1)
とおくと
である。したがって
と は実数で、 は非実数だから、 となるには両係数が0でなければならない。よって
すなわち
である。
(2)
このとき
条件より
の範囲で第1式を満たす候補は
であり、このうち で割って9余るものは だけである。
したがって
となり、すべての解は
である。