九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $O{A}^2=1^2+1^2=2$ であるから、正四面体の各辺の長さの2乗は2である。まず $O{B}^2=1+p^2=2$ より、$p>0$ だから $p=1$ である。

次に、$O{C}^2=A{C}^2=B{C}^2=2$ より $q^2+r^2+s^2=2$ $(q-1{)}^2+(r-1{)}^2+s^2=2$ $(q-1{)}^2+r^2+(s-1{)}^2=2$ を得る。第2式から第1式を引くと $-2q-2r+2=0$ すなわち $q+r=1$ である。また第3式から第1式を引くと $q+s=1$ である。したがって $r=s=1-q$ となる。

これを $q^2+r^2+s^2=2$ に代入すると $q^2+2(1-q{)}^2=2$ であり、整理して $$3q^2-4q=0,q(3q-4)=0$$ を得る。よって $q=0$ または $q=\frac{4}{3}$ である。$q=\frac{4}{3}$ のとき $s=1-q=-\frac{1}{3}$ となり、条件 $s>0$ に反する。したがって $$q=0,r=1,s=1$$ である。以上より $${\displaystyle p=1,q=0,r=1,s=1}$$ である。

(2)
(1)より $O(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1)$ である。平面 $z=t$ で切る。ただし断面が現れるのは $0\leqq t\leqq 1$ のときである。

平面 $z=t$ は辺 $OB,AB,AC,OC$ とそれぞれ交わり、その4点を $xy$ 平面に射影すると $(t,0),(1,1-t),(1-t,1),(0,t)$ である。平面 $z=t$ は $xy$ 平面と平行なので、断面積はこの四角形の面積に等しい。

この4点をこの順に用いて面積を求めると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{t(1-t)+1+(1-t)t-((1-t{)}^2+t^2)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{4t(1-t)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2t(1-t)}\end{array}$$である。したがって $$S(t)=2t(1-t)=-2{(t-\frac{1}{2})}^2+\frac{1}{2}$$ より、最大値は $t=\frac{1}{2}$ のとき ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

原点から出る3辺の長さと内積を利用して頂点 $C$ を決める。切断面では隣り合う辺ベクトルが直交することを直接示し、長方形の2辺の長さの積から面積を求める。

(1) $$\overrightarrow{OA}=(1,1,0)$$ だから、正四面体の1辺の長さの2乗は2である。$$\overrightarrow{OB}=(1,0,p)$$ より$$1+p^2=2$$であり、$p>0$ から $p=1$ となる。

正四面体では、原点から出る2辺のなす角は ${60}^{\circ }$ である。したがって$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=1.$$$C=(q,r,s)$、$B=(1,0,1)$ を代入すると$$q+r=1,q+s=1,$$また $O{C}^2=2$ より$$q^2+r^2+s^2=2$$である。よって $r=s=1-q$ であり、$$q^2+2(1-q{)}^2=2⟺q(3q-4)=0.$$$q=4\mathrm{/}3$ では $s=-1\mathrm{/}3<0$ となるので除外し、$$p=1,q=0,r=s=1$$を得る。

(2)
平面 $z=t(0\leqq t\leqq 1)$ と辺 $OB,OC,AC,AB$ との交点を順に $D,E,F,G$ とする。$xy$ 座標は$$D=(t,0),E=(0,t),F=(1-t,1),G=(1,1-t)$$である。隣り合う辺ベクトルは$$\overrightarrow{DE}=(-t,t),\overrightarrow{EF}=(1-t,1-t)$$であり、$$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{EF}=0.$$また、向かい合う辺はそれぞれ平行なので、断面 $DEFG$ は長方形である。2辺の長さは$$\mathrm{\mid }DE\mathrm{\mid }=\sqrt{2}t,\mathrm{\mid }EF\mathrm{\mid }=\sqrt{2}(1-t)$$だから$$S(t)=2t(1-t)=-2{(t-\frac{1}{2})}^2+\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって最大値は$$\frac{1}{2}(t=\frac{1}{2})$$である。