問題
座標空間内の4点，，，を頂点とする四面体が正四面体であるとする。ただし，，とする。以下の問いに答えよ。
(1) の値を求めよ。
(2) 軸に垂直な平面で正四面体を切ったときの断面積の最大値を求めよ。
方針
解法1（断面を座標で求めて面積公式を使う）
正四面体の6辺がすべて同じ長さであることから未知座標を決定する。次に切断面を とおき、4辺との交点を 平面へ射影する。4頂点の座標から断面積を計算し、二次関数として最大化する。
解法2（内積と長方形の辺ベクトルを使う）
原点から出る3辺の長さと内積を利用して頂点 を決める。切断面では隣り合う辺ベクトルが直交することを直接示し、長方形の2辺の長さの積から面積を求める。
解答
解法1（断面を座標で求めて面積公式を使う）
(1)
であるから、正四面体の各辺の長さの2乗は2である。まず より、 だから である。
次に、 より を得る。第2式から第1式を引くと すなわち である。また第3式から第1式を引くと である。したがって となる。
これを に代入すると であり、整理して を得る。よって または である。 のとき となり、条件 に反する。したがって である。以上より である。
(2)
(1)より である。平面 で切る。ただし断面が現れるのは のときである。
平面 は辺 とそれぞれ交わり、その4点を 平面に射影すると である。平面 は 平面と平行なので、断面積はこの四角形の面積に等しい。
この4点をこの順に用いて面積を求めると
である。したがって より、最大値は のとき である。
解法2（内積と長方形の辺ベクトルを使う）
(1)
だから、正四面体の1辺の長さの2乗は2である。 より
であり、 から となる。
正四面体では、原点から出る2辺のなす角は である。したがって
、 を代入すると
また より
である。よって であり、
では となるので除外し、
を得る。
(2)
平面 と辺 との交点を順に とする。 座標は
である。隣り合う辺ベクトルは
であり、
また、向かい合う辺はそれぞれ平行なので、断面 は長方形である。2辺の長さは
だから
したがって最大値は
である。