九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{PQ}=(2,0,2),\overrightarrow{PR}=(a+1,a^2-1,a^3+1)$$である。2本のベクトルから作る平行四辺形の面積ベクトルの成分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (0(a^3+1)-2(a^2-1),}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 2(a+1)-2(a^3+1),}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 2(a^2-1)-0(a+1))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1-a^2)(1,a,-1)}\end{array}$$となる。$a\mathrm{\ne }\pm 1$ならこれは零ベクトルでないので、$\overrightarrow{PQ}$と$\overrightarrow{PR}$は平行でない。したがって$P,Q,R$は一直線上にない。

(2)
$-1<a<1$では$1-a^2>0$である。三角形$PQR$の面積を$S$とすると、上の面積ベクトルの大きさの半分だから$$S=(1-a^2)\sqrt{1+a^2+1}=(1-a^2)\sqrt{a^2+2}\mathrm{.}$$$S\geqq 0$なので$S$を最大にすることと$S^2$を最大にすることは同値である。$t=a^2$と置くと$0\leqq t<1$で$$S^2=(1-t{)}^2(t+2)=t^3-3t+2.$$$g(t)=t^3-3t+2$とすれば$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-3<0(0\leqq t<1)$$である。よって$g$はこの区間で単調減少し、最大は$t=0$、すなわち$a=0$のときである。このとき$S^2=2$なので、面積の最大値は$$\sqrt{2}$$である。

直線$PQ$が$(u,1,u)$と表されることを使う。(1)は$R$がこの形なら第2成分から$a^2=1$が必要である。(2)は$R$と$(u,1,u)$の距離の2乗を$u$について平方完成して高さを求め、底辺$PQ=2\sqrt{2}$と組み合わせる。

(1)
直線$PQ$上の点は$$(-1,1,-1)+\lambda (2,0,2)=(u,1,u)$$と表せる。もし$R=(a,a^2,a^3)$がこの直線上にあれば、第2成分から$a^2=1$が必要である。したがって$a\mathrm{\ne }-1,1$のとき$R$は直線$PQ$上になく、3点は一直線上にない。

(2)
$R$から直線$PQ$上の点$(u,1,u)$までの距離の2乗は$$D(u)=(a-u{)}^2+(a^2-1{)}^2+(a^3-u{)}^2\mathrm{.}$$ここで$$(a-u{)}^2+(a^3-u{)}^2=2{(u-\frac{a+a^3}{2})}^2+\frac{(a-a^3{)}^2}{2}$$だから、直線$PQ$までの距離$h$は$$h^2=\frac{(a-a^3{)}^2}{2}+(a^2-1{)}^2=\frac{(1-a^2{)}^2(a^2+2)}{2}$$を満たす。また$PQ=2\sqrt{2}$なので$$S^2={(\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot h)}^2=(1-a^2{)}^2(a^2+2)\mathrm{.}$$$t=a^2$と置けば、解法1と同様に$(1-t{)}^2(t+2)$は$0\leqq t<1$で単調減少する。よって$a=0$のとき最大となり$$\max S=\sqrt{2}$$である。