九州大学 2024年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を実数とし、座標空間内の3点 $P (- 1, 1, - 1)$ 、 $Q (1, 1, 1)$ 、 $R (a, a^{2}, a^{3})$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) $a \neq = - 1$ 、 $a \neq = 1$ のとき、3点 $P, Q, R$ は一直線上にないことを示せ。

(2) $a$ が $- 1 < a < 1$ の範囲を動くとき、三角形 $P QR$ の面積の最大値を求めよ。

出典：九州大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1（外積型の面積公式）

$P Q$ と $P R$ から、平行四辺形の面積ベクトルに相当する成分式を計算する。得られるベクトルが $2 (1 - a^{2}) (1, a, - 1)$ と因数分解できるため、(1)の非共線性と(2)の面積が同じ計算で処理できる。面積の2乗を $t = a^{2}$ の関数に直して最大化する。

解法2（直線PQまでの距離）

直線 $P Q$ が $(u, 1, u)$ と表されることを使う。(1)は $R$ がこの形なら第2成分から $a^{2} = 1$ が必要である。(2)は $R$ と $(u, 1, u)$ の距離の2乗を $u$ について平方完成して高さを求め、底辺 $P Q = 22$ と組み合わせる。

解答

解法1（外積型の面積公式）

(1)

P Q = (2, 0, 2), P R = (a + 1, a^{2} - 1, a^{3} + 1)

である。2本のベクトルから作る平行四辺形の面積ベクトルの成分は

(0 (a^{3} + 1) - 2 (a^{2} - 1), 2 (a + 1) - 2 (a^{3} + 1), 2 (a^{2} - 1) - 0 (a + 1)) = 2 (1 - a^{2}) (1, a, - 1)

となる。 $a \neq = \pm 1$ ならこれは零ベクトルでないので、 $P Q$ と $P R$ は平行でない。したがって $P, Q, R$ は一直線上にない。

(2)

$- 1 < a < 1$ では $1 - a^{2} > 0$ である。三角形 $P QR$ の面積を $S$ とすると、上の面積ベクトルの大きさの半分だから

S = (1 - a^{2}) 1 + a^{2} + 1 = (1 - a^{2}) a^{2} + 2 .

$S ≧ 0$ なので $S$ を最大にすることと $S^{2}$ を最大にすることは同値である。 $t = a^{2}$ と置くと $0 ≦ t < 1$ で

S^{2} = (1 - t)^{2} (t + 2) = t^{3} - 3 t + 2.

$g (t) = t^{3} - 3 t + 2$ とすれば

g^{'} (t) = 3 t^{2} - 3 < 0 (0 ≦ t < 1)

である。よって $g$ はこの区間で単調減少し、最大は $t = 0$ 、すなわち $a = 0$ のときである。このとき $S^{2} = 2$ なので、面積の最大値は

2

である。

解法2（直線PQまでの距離）

(1)

直線 $P Q$ 上の点は

(- 1, 1, - 1) + λ (2, 0, 2) = (u, 1, u)

と表せる。もし $R = (a, a^{2}, a^{3})$ がこの直線上にあれば、第2成分から $a^{2} = 1$ が必要である。したがって $a \neq = - 1, 1$ のとき $R$ は直線 $P Q$ 上になく、3点は一直線上にない。

(2)

$R$ から直線 $P Q$ 上の点 $(u, 1, u)$ までの距離の2乗は

D (u) = (a - u)^{2} + (a^{2} - 1)^{2} + (a^{3} - u)^{2} .

ここで

(a - u)^{2} + (a^{3} - u)^{2} = 2 (u - \frac{a + a ^{3}}{2})^{2} + \frac{( a - a ^{3} ) ^{2}}{2}

だから、直線 $P Q$ までの距離 $h$ は

h^{2} = \frac{( a - a ^{3} ) ^{2}}{2} + (a^{2} - 1)^{2} = \frac{( 1 - a ^{2} ) ^{2} ( a ^{2} + 2 )}{2}

を満たす。また $P Q = 22$ なので

S^{2} = (\frac{1}{2} \cdot 22 \cdot h)^{2} = (1 - a^{2})^{2} (a^{2} + 2) .

$t = a^{2}$ と置けば、解法1と同様に $(1 - t)^{2} (t + 2)$ は $0 ≦ t < 1$ で単調減少する。よって $a = 0$ のとき最大となり

max S = 2

である。

九州大学 2024年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1（外積型の面積公式）

解法2（直線PQまでの距離）

解答

解法1（外積型の面積公式）

(1)

(2)

解法2（直線PQまでの距離）

(1)

(2)

九州大学 2024年度
理系数学第1問