九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$I(m+1,n+1)={\int }_1^e{x}^{m+1}{e}^x(\log x{)}^{n+1}dx$$において、$e^x$を積分し、$x^{m+1}(\log x{)}^{n+1}$を微分する部分積分を行う。微分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dx}\{x^{m+1}(\log x{)}^{n+1}\}}& {\displaystyle =(m+1)x^m(\log x{)}^{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(n+1)x^m(\log x{)}^n}\end{array}$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I(m+1,n+1)}& {\displaystyle ={[x^{m+1}{e}^x(\log x{)}^{n+1}]}_1^e}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(m+1)I(m,n+1)-(n+1)I(m,n)\mathrm{.}}\end{array}$$上端$x=e$では$e^{m+1}\cdot e^e\cdot 1=e^{m+e+1}$、下端$x=1$では$(\log 1{)}^{n+1}=0$なので$$I(m+1,n+1)=e^{m+e+1}-(m+1)I(m,n+1)-(n+1)I(m,n)\mathrm{.}$$(2)
上式を変形すると$$I(m,n)=\frac{e^{m+e+1}-(m+1)I(m,n+1)-I(m+1,n+1)}{n+1}\mathrm{.}$$$1\leqq x\leqq e$では$x^m{e}^x(\log x{)}^k\geqq 0$であるから$$I(m,n)\geqq 0,I(m,n+1)\geqq 0,I(m+1,n+1)\geqq 0.$$したがって$$0\leqq I(m,n)\leqq \frac{e^{m+e+1}}{n+1}\mathrm{.}$$$m$を固定すれば右辺は$n\to \mathrm{\infty }$で$0$へ収束する。よってはさみうちの原理により$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(m,n)=0$$である。

(1) は解法1と同じ部分積分で求める。(2)では誘導式を使わず、$1\leqq x\leqq e$上で$x^m{e}^x\leqq e^{m+e}$と評価する。残る${\int }_1^e(\log x{)}^{n}dx$へ$u=\log x$を施し、$e^u\leqq e$を使って$e\mathrm{/}(n+1)$以下にする。

(1)
解法1と同じ部分積分により$$I(m+1,n+1)=e^{m+e+1}-(m+1)I(m,n+1)-(n+1)I(m,n)$$である。

(2)
$1\leqq x\leqq e$では$$0\leqq x^m{e}^x\leqq e^m{e}^e=e^{m+e}$$だから$$0\leqq I(m,n)\leqq e^{m+e}{\int }_1^e(\log x{)}^{n}dx\mathrm{.}$$ここで$u=\log x$と置くと$x=e^u,dx=e^{u}du$で、積分区間は$0\leqq u\leqq 1$になる。よって$${\int }_1^e(\log x{)}^{n}dx={\int }_0^1{u}^n{e}^{u}du\leqq e{\int }_0^1{u}^{n}du=\frac{e}{n+1}\mathrm{.}$$したがって$$0\leqq I(m,n)\leqq \frac{e^{m+e+1}}{n+1}\mathrm{.}$$右辺は$m$を固定して$n\to \mathrm{\infty }$とすれば$0$へ収束するので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(m,n)=0$$である。