九州大学 2024年度理系数学第5問解答・解説

問題

自然数 $m, n$ に対して

I (m, n) = \int_{1}^{e} x^{m} e^{x} (lo g x)^{n} d x

とする。以下の問いに答えよ。

(1) $I (m + 1, n + 1)$ を $I (m, n + 1), I (m, n), m, n$ を用いて表せ。

(2) すべての自然数 $m$ に対して、 $n \to \infty lim I (m, n) = 0$ が成り立つことを示せ。

出典：九州大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1（漸化式をそのまま評価に使う方法）

(1)は $e^{x}$ を積分する側、 $x^{m + 1} (lo g x)^{n + 1}$ を微分する側として部分積分する。上端 $x = e$ では $e^{x} = e^{e}$ であるため、境界項の指数は $m + e + 1$ になる。(2)は(1)を $I (m, n)$ について解き、現れる三つの積分がすべて非負であることから $0 ≦ I (m, n) ≦ e^{m + e + 1} / (n + 1)$ を得てはさみうちを行う。

解法2（被積分関数を直接評価する別解）

(1)は解法1と同じ部分積分で求める。(2)では誘導式を使わず、 $1 ≦ x ≦ e$ 上で $x^{m} e^{x} ≦ e^{m + e}$ と評価する。残る $\int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x$ へ $u = lo g x$ を施し、 $e^{u} ≦ e$ を使って $e / (n + 1)$ 以下にする。

解答

解法1（漸化式をそのまま評価に使う方法）

(1)

I (m + 1, n + 1) = \int_{1}^{e} x^{m + 1} e^{x} (lo g x)^{n + 1} d x

において、 $e^{x}$ を積分し、 $x^{m + 1} (lo g x)^{n + 1}$ を微分する部分積分を行う。微分は

\frac{d}{d x} {x^{m + 1} (lo g x)^{n + 1}} = (m + 1) x^{m} (lo g x)^{n + 1} + (n + 1) x^{m} (lo g x)^{n}

であるから

I (m + 1, n + 1) = [x^{m + 1} e^{x} (lo g x)^{n + 1}]_{1}^{e} - (m + 1) I (m, n + 1) - (n + 1) I (m, n) .

上端 $x = e$ では $e^{m + 1} \cdot e^{e} \cdot 1 = e^{m + e + 1}$ 、下端 $x = 1$ では $(lo g 1)^{n + 1} = 0$ なので

I (m + 1, n + 1) = e^{m + e + 1} - (m + 1) I (m, n + 1) - (n + 1) I (m, n) .

(2)

上式を変形すると

I (m, n) = \frac{e ^{m + e + 1} - ( m + 1 ) I ( m , n + 1 ) - I ( m + 1 , n + 1 )}{n + 1} .

$1 ≦ x ≦ e$ では $x^{m} e^{x} (lo g x)^{k} ≧ 0$ であるから

I (m, n) ≧ 0, I (m, n + 1) ≧ 0, I (m + 1, n + 1) ≧ 0.

したがって

0 ≦ I (m, n) ≦ \frac{e ^{m + e + 1}}{n + 1} .

$m$ を固定すれば右辺は $n \to \infty$ で $0$ へ収束する。よってはさみうちの原理により

n \to \infty lim I (m, n) = 0

である。

解法2（被積分関数を直接評価する別解）

(1)

解法1と同じ部分積分により

I (m + 1, n + 1) = e^{m + e + 1} - (m + 1) I (m, n + 1) - (n + 1) I (m, n)

である。

(2)

$1 ≦ x ≦ e$ では

0 ≦ x^{m} e^{x} ≦ e^{m} e^{e} = e^{m + e}

だから

0 ≦ I (m, n) ≦ e^{m + e} \int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x .

ここで $u = lo g x$ と置くと $x = e^{u}, d x = e^{u} d u$ で、積分区間は $0 ≦ u ≦ 1$ になる。よって

\int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x = \int_{0}^{1} u^{n} e^{u} d u ≦ e \int_{0}^{1} u^{n} d u = \frac{e}{n + 1} .

したがって

0 ≦ I (m, n) ≦ \frac{e ^{m + e + 1}}{n + 1} .

右辺は $m$ を固定して $n \to \infty$ とすれば $0$ へ収束するので

n \to \infty lim I (m, n) = 0

である。

九州大学 2024年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（漸化式をそのまま評価に使う方法）

解法2（被積分関数を直接評価する別解）

解答

解法1（漸化式をそのまま評価に使う方法）

(1)

(2)

解法2（被積分関数を直接評価する別解）

(1)

(2)

九州大学 2024年度
理系数学第5問