九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
直接展開すると$$(z^2-1)f(z)=z^8-1$$である。また$f(1)=f(-1)=4$なので、$f(z)=0$を満たす$z$について$z^2\mathrm{\ne }1$である。このとき$$z^8-1=(z^2-1)f(z)=0$$より$z^8=1$である。絶対値を取ると$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^8=1$であり、$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\geqq 0$だから$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$$が成り立つ。

(2)
上の議論と$f(\pm 1)\mathrm{\ne }0$から、$f(z)=0$の解集合は$$z^8=1,z^2\mathrm{\ne }1$$を満たす複素数全体である。

条件を満たす$w$を考える。解$z$を一つ取ると、$wz$も解なので$$(wz{)}^8=1.$$$z^8=1$より$w^8=1$が必要である。

ここで$w^2\mathrm{\ne }1$と仮定する。$z=1\mathrm{/}w$と置けば、$w^8=1$より$z^8=1$であり、$w^2\mathrm{\ne }1$より$z^2\mathrm{\ne }1$である。したがってこの$z$は$f(z)=0$の解である。しかし$wz=1$なので$$f(wz)=f(1)=4\mathrm{\ne }0,$$となり条件に反する。よって$w^2=1$、すなわち候補は$w=1,-1$だけである。

$w=1$は明らかに条件を満たす。$w=-1$についても$f$は偶関数なので$f(-z)=f(z)$であり、すべての解を解へ移す。したがって求める複素数は$$w=1,-1$$である。

$\omega =\cos (\pi \mathrm{/}4)+i\sin (\pi \mathrm{/}4)$と置くと、解は${\omega }^k$のうち指数$0,4$を除いたものになる。条件から$w$も8乗根と分かるので$w={\omega }^j$と書き、指数を$j$だけ平行移動しても除外集合$\{0,4\}$が保たれる場合を調べる。

(1) $$f(z)=(z^2+1)(z^4+1)$$である。$z^2=-1$なら$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=1$、$z^4=-1$なら$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^4=1$なので、いずれの場合も$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$$である。

(2)
$\omega =\cos (\pi \mathrm{/}4)+i\sin (\pi \mathrm{/}4)$とする。解法1の恒等式から、$f(z)=0$の解は$${\omega }^1,{\omega }^2,{\omega }^3,{\omega }^5,{\omega }^6,{\omega }^7$$であり、8乗根の指数を$8$で考えたとき$0,4$だけが除かれている。

条件から$w^8=1$なので$w={\omega }^j$と書ける。$z$へ$w$を掛けることは指数へ$j$を加えることにあたる。6個の解がすべて再び6個の解へ入るなら、有限集合なので実際には解集合をそれ自身へ移し、除外集合も$$\{j,j+4\}=\{0,4\}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$$を満たす。したがって$j=0$または$j=4$である。逆にこの二つは解集合を保つので$$w={\omega }^0=1,w={\omega }^4=-1$$がすべてである。