問題
整式
について、以下の問いに答えよ。
(1) をみたすすべての複素数に対して、が成り立つことを示せ。
(2) 次の条件をみたす複素数をすべて求めよ。
条件：をみたすすべての複素数に対してが成り立つ。
出典：九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
解法1（8乗根として捉える方法）
恒等式を使う。も確認すると、解集合は8乗根からだけを除いた6点と分かる。(2)ではまず任意の解を一つ用いてを導く。次になら自身が解なのにが解でないという矛盾を作り、候補をへ絞って十分性まで確認する。
解法2（指数集合の回転対称性）
と置くと、解はのうち指数を除いたものになる。条件からも8乗根と分かるのでと書き、指数をだけ平行移動しても除外集合が保たれる場合を調べる。
解答
解法1（8乗根として捉える方法）
(1)
直接展開すると
である。またなので、を満たすについてである。このとき
よりである。絶対値を取るとであり、だから
が成り立つ。
(2)
上の議論とから、の解集合は
を満たす複素数全体である。
条件を満たすを考える。解を一つ取ると、も解なので
よりが必要である。
ここでと仮定する。と置けば、よりであり、よりである。したがってこのはの解である。しかしなので
となり条件に反する。よって、すなわち候補はだけである。
は明らかに条件を満たす。についてもは偶関数なのでであり、すべての解を解へ移す。したがって求める複素数は
である。
解法2（指数集合の回転対称性）
(1)
である。なら、ならなので、いずれの場合も
である。
(2)
とする。解法1の恒等式から、の解は
であり、8乗根の指数をで考えたときだけが除かれている。
条件からなのでと書ける。へを掛けることは指数へを加えることにあたる。6個の解がすべて再び6個の解へ入るなら、有限集合なので実際には解集合をそれ自身へ移し、除外集合も
を満たす。したがってまたはである。逆にこの二つは解集合を保つので
がすべてである。