九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

直線上で隣り合う格子点への基本移動を$(r,s)$とする。ただし$r,s$は整数で、共通の正の約数をもたないものとする。3点以上を通るなら$(x,y),(x+r,y+s),(x+2r,y+2s)$が正方形内に入る向きを選べるので$$\begin{array}{cccc}& 2\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }\leqq n-1,2\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\leqq n-1& & \text{(1)}\end{array}$$が必要である。

(1)
$n=3$では(1)より$\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\leqq 1$である。したがって候補は水平、垂直、傾き$1,-1$だけである。水平線は3本、垂直線は3本、二つの対角方向はそれぞれ1本だから$$L(3)=3+3+1+1=8.$$(2)
$n=4$でも(1)から$\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\leqq 1$であり、方向は同じ4種類だけである。水平4本、垂直4本である。傾き$1$の直線は$y=x+c$のうち$c=-1,0,1$の3本、傾き$-1$も対称性により3本なので$$L(4)=4+4+3+3=14.$$(3)
$n=5$では$\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\leqq 2$である。$(r,s)$を互いに素に取ると、水平・垂直以外の傾きは$$\pm 1,\pm 2,\pm \frac{1}{2}$$に限られる。

水平・垂直はそれぞれ5本である。傾き$1$は$y=x+c$で$c=-2,-1,0,1,2$の5本、傾き$-1$も5本である。傾き$2$では3点は$$(x,1),(x+1,3),(x+2,5)$$の形で、$x=1,2,3$の3本である。傾き$1\mathrm{/}2$も座標を入れ替えて3本、符号を負にした二方向もそれぞれ3本である。したがって$$L(5)=5+5+5+5+3+3+3+3=32.$$$5\times 5$格子で新たに現れる基本方向は$(1,2),(2,1)$とその反転。

3点以上を通る直線の傾き候補を、横方向の差と縦方向の差がともに$n-1$以下であることから絞る。その後、各傾きについて切片を整数条件から直接列挙する。方向ベクトルではなく直線の方程式を表にするので、同一直線の重複がないことを確認しやすい。

(1)
$3\times 3$格子では、3点を通るために端から端までの座標差が必要である。該当する直線は$$y=1,2,3;x=1,2,3;y=x;y=-x+4$$の8本なので$$L(3)=8.$$(2)
$4\times 4$格子では、水平・垂直が各4本である。斜めは$$y=x+c(c=-1,0,1)$$の3本と、その左右反転である傾き$-1$の3本だけである。傾きの分子または分母の絶対値が2以上なら、3点で必要な2回分の移動が4以上となり、幅3に収まらない。よって$$L(4)=4+4+3+3=14.$$(3)
$5\times 5$格子では、3点の間の2回分の基本移動が幅4に収まる必要がある。互いに素な座標差から、水平・垂直以外の傾きは$\pm 1,\pm 2,\pm 1\mathrm{/}2$だけである。

傾き$1$については$$y=x+c(c=-2,-1,0,1,2)$$の5本である。傾き$2$については$$y=2x+c(c=-1,-3,-5)$$の3本、傾き$1\mathrm{/}2$については座標交換により3本である。負の傾きは正方形の左右反転で同数だから$$L(5)=5+5+2\cdot 5+4\cdot 3=32$$となる。