九州大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

与式 $n^4=1+210m^2$ の右辺は奇数である。したがって $n^4$ は奇数であり，$n$ も奇数である。よって $n^2$ も奇数なので ${\displaystyle \frac{n^2+1}{2}},{\displaystyle \frac{n^2-1}{2}}$ はいずれも整数である。

この2つの整数の差は $${\displaystyle \frac{n^2+1}{2}}-{\displaystyle \frac{n^2-1}{2}}=1$$ である。差が $1$ の2整数に共通の正の約数があるとすれば，その約数は $1$ も割り切る。したがって2つの整数は互いに素である。

(2)

まず $n$ は奇数だから，奇数の平方は $8$ で割って $1$ 余る。したがって $n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ であり，$n^2-1$ は $8$ の倍数である。

次に，もとの式を $3$ で考えると，$210m^2$ は $3$ の倍数なので $n^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。もし $n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ なら左辺は $0$ になって矛盾する。よって $n\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であり，平方数の余りから $n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ となる。したがって $n^2-1$ は $3$ の倍数である。

同様に $7$ で考えると $n^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ である。$7$ で割った平方数の余りは $0,1,2,4$ のいずれかであり，このうちさらに2乗して $1$ になるものは $1$ だけである。よって $n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ であり，$n^2-1$ は $7$ の倍数である。 $8,3,7$ は互いに素であるから，$n^2-1$ は $8\cdot 3\cdot 7=168$ の倍数である。

(3)

(2) より $n^2-1$ は $168$ の倍数である。具体例を作るため，$n^2-1=1680$ と取ってみると $n^2=1681={41}^2$ となるので $n=41$ が候補になる。このとき$${\displaystyle \frac{n^4-1}{210}}={\displaystyle \frac{(n^2-1)(n^2+1)}{210}}={\displaystyle \frac{1680\cdot 1682}{210}}$$である。計算すると $${\displaystyle \frac{1680\cdot 1682}{210}}=8\cdot 1682=13456={116}^2$$ であるから，$m=116$ とすれば ${41}^4=1+210\cdot {116}^2$ が成り立つ。したがって条件を満たす自然数の組の一つは $(m,n)=(116,41)$ である。

(1) (2) は偶奇と合同式で示す。(3) では $m$ が偶数であることから $m=2q$ とおき，互いに素な連続2整数 $(n^2+1)\mathrm{/}2$，$(n^2-1)\mathrm{/}2$ の積が $210q^2$ になる構造を使う。${29}^2-1=840=210\cdot 2^2$ という連続する平方数の関係から $n=41$ を構成する。

(1)
与式の右辺は奇数なので $n$ は奇数である。したがって$${\displaystyle \frac{n^2+1}{2}},{\displaystyle \frac{n^2-1}{2}}$$は整数であり，その差は1である。よって両者は互いに素である。

(2)
奇数 $n$ について $n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ である。また与式から$$n^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),n^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)\mathrm{.}$$平方剰余を調べると$$n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)\mathrm{.}$$したがって $n^2-1$ は $8,3,7$ の全てで割り切れる。これらは互いに素なので$$168\mid n^2-1\mathrm{.}$$(3)
$n$ は奇数だから $n^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$ である。与式から $16\mid 210m^2$ となるため $m$ は偶数である。$m=2q$ とおくと$$\begin{array}{cccc}& {\displaystyle \frac{n^2+1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{n^2-1}{2}}=210q^2\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$ここで$${29}^2-1=840=210\cdot 2^2$$に注目する。そこで$${\displaystyle \frac{n^2+1}{2}}={29}^2=841,{\displaystyle \frac{n^2-1}{2}}=840$$と取ると，両者は確かに差1である。第1式から$$n^2=1681={41}^2,n=41.$$また (1) より$$210q^2=841\cdot 840=210(29\cdot 2{)}^2$$だから $q=58$，したがって $m=2q=116$ である。よって一組は$$(m,n)=(116,41)\mathrm{.}$$