九州大学 2022年度理系数学第3問解答・解説

問題

自然数 $m, n$ が

n^{4} = 1 + 210 m^{2} \dots\dots (1)

をみたすとき，以下の問いに答えよ。

(1) $\frac{n ^{2} + 1}{2}, \frac{n ^{2} - 1}{2}$ は互いに素な整数であることを示せ。

(2) $n^{2} - 1$ は168の倍数であることを示せ。

(3) (1)をみたす自然数の組 $(m, n)$ を1つ求めよ。

出典：九州大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

解法1

まず式の偶奇から $n$ が奇数であることを確認し， $(n^{2} + 1) /2$ と $(n^{2} - 1) /2$ が整数で差 $1$ であることから互いに素と分かる。次に $n^{2} - 1$ が $8$ ， $3$ ， $7$ のそれぞれで割り切れることを合同式で示し，互いに素な積として $168$ の倍数を得る。最後はこの条件を使って具体例を探す。 $n^{2} - 1$ を $168$ の適当な倍数にし， $(n^{4} - 1) /210$ が平方数になるものを作ればよい。

解法2（互いに素な2因子から構成）

(1)(2) は偶奇と合同式で示す。(3) では $m$ が偶数であることから $m = 2 q$ とおき，互いに素な連続2整数 $(n^{2} + 1) /2$ ， $(n^{2} - 1) /2$ の積が $210 q^{2}$ になる構造を使う。 $2 9^{2} - 1 = 840 = 210 \cdot 2^{2}$ という連続する平方数の関係から $n = 41$ を構成する。

解答

解法1

(1)

与式 $n^{4} = 1 + 210 m^{2}$ の右辺は奇数である。したがって $n^{4}$ は奇数であり， $n$ も奇数である。よって $n^{2}$ も奇数なので $\frac{n ^{2} + 1}{2}, \frac{n ^{2} - 1}{2}$ はいずれも整数である。

この2つの整数の差は $\frac{n ^{2} + 1}{2} - \frac{n ^{2} - 1}{2} = 1$ である。差が $1$ の2整数に共通の正の約数があるとすれば，その約数は $1$ も割り切る。したがって2つの整数は互いに素である。

(2)

まず $n$ は奇数だから，奇数の平方は $8$ で割って $1$ 余る。したがって $n^{2} \equiv 1 (mod 8)$ であり， $n^{2} - 1$ は $8$ の倍数である。

次に，もとの式を $3$ で考えると， $210 m^{2}$ は $3$ の倍数なので $n^{4} \equiv 1 (mod 3)$ である。もし $n \equiv 0 (mod 3)$ なら左辺は $0$ になって矛盾する。よって $n \neq \equiv 0 (mod 3)$ であり，平方数の余りから $n^{2} \equiv 1 (mod 3)$ となる。したがって $n^{2} - 1$ は $3$ の倍数である。

同様に $7$ で考えると $n^{4} \equiv 1 (mod 7)$ である。 $7$ で割った平方数の余りは $0, 1, 2, 4$ のいずれかであり，このうちさらに2乗して $1$ になるものは $1$ だけである。よって $n^{2} \equiv 1 (mod 7)$ であり， $n^{2} - 1$ は $7$ の倍数である。 $8, 3, 7$ は互いに素であるから， $n^{2} - 1$ は $8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$ の倍数である。

(3)

(2) より $n^{2} - 1$ は $168$ の倍数である。具体例を作るため， $n^{2} - 1 = 1680$ と取ってみると $n^{2} = 1681 = 4 1^{2}$ となるので $n = 41$ が候補になる。このとき

\frac{n ^{4} - 1}{210} = \frac{( n ^{2} - 1 ) ( n ^{2} + 1 )}{210} = \frac{1680 \cdot 1682}{210}

である。計算すると $\frac{1680 \cdot 1682}{210} = 8 \cdot 1682 = 13456 = 11 6^{2}$ であるから， $m = 116$ とすれば $4 1^{4} = 1 + 210 \cdot 11 6^{2}$ が成り立つ。したがって条件を満たす自然数の組の一つは $(m, n) = (116, 41)$ である。

解法2（互いに素な2因子から構成）

(1)

与式の右辺は奇数なので $n$ は奇数である。したがって

\frac{n ^{2} + 1}{2}, \frac{n ^{2} - 1}{2}

は整数であり，その差は1である。よって両者は互いに素である。

(2)

奇数 $n$ について $n^{2} \equiv 1 (mod 8)$ である。また与式から

n^{4} \equiv 1 (mod 3), n^{4} \equiv 1 (mod 7) .

平方剰余を調べると

n^{2} \equiv 1 (mod 3), n^{2} \equiv 1 (mod 7) .

したがって $n^{2} - 1$ は $8, 3, 7$ の全てで割り切れる。これらは互いに素なので

168 ∣ n^{2} - 1 .

(3)

$n$ は奇数だから $n^{4} \equiv 1 (mod 16)$ である。与式から $16 ∣ 210 m^{2}$ となるため $m$ は偶数である。 $m = 2 q$ とおくと

\frac{n ^{2} + 1}{2} \cdot \frac{n ^{2} - 1}{2} = 210 q^{2} . (1)

ここで

2 9^{2} - 1 = 840 = 210 \cdot 2^{2}

に注目する。そこで

\frac{n ^{2} + 1}{2} = 2 9^{2} = 841, \frac{n ^{2} - 1}{2} = 840

と取ると，両者は確かに差1である。第1式から

n^{2} = 1681 = 4 1^{2}, n = 41.

また (1) より

210 q^{2} = 841 \cdot 840 = 210 (29 \cdot 2)^{2}

だから $q = 58$ ，したがって $m = 2 q = 116$ である。よって一組は

(m, n) = (116, 41) .

九州大学 2022年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（互いに素な2因子から構成）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（互いに素な2因子から構成）

(1)

(2)

(3)

九州大学 2022年度
理系数学第3問