九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
$a<b$より$$\frac{b!}{a!}=(a+1)(a+2)\cdots (b-1)b$$である。$b$以外の因子は、存在すればすべて$1$以上なので$$\frac{b!}{a!}\geqq b$$が成り立つ。

(2)
$2a!=b!$なら$b!>a!$であるから$a<b$である。両辺を$a!$で割ると$$\frac{b!}{a!}=2.$$(1)より$2\geqq b$である。自然数で$a<b\leqq 2$を満たすのは$(a,b)=(1,2)$だけであり、実際に$2\cdot 1!=2!$である。したがって$$(a,b)=(1,2)$$である。

(3)
式は$a,b$について対称なので$a\leqq b$としてよい。

$a=b$なら$2a!=2c!$より$a!=c!$であり、自然数上で階乗は狭義に増加するから$a=c$である。よって$$(a,b,c)=(k,k,k)(k\text{は自然数})$$は解である。

次に$a<b$と仮定する。$a!<b!$なので、その平均である$c!$について$$a!<\frac{a!+b!}{2}=c!<b!\mathrm{.}$$したがって$a<c<b$である。元の式を$c!$で割ると$$2=\frac{a!}{c!}+\frac{b!}{c!}\mathrm{.}$$ここで$a!\mathrm{/}c!>0$であり、(1)を$c<b$へ適用すると$b!\mathrm{/}c!\geqq b$だから$$2>\frac{b!}{c!}\geqq b\mathrm{.}$$よって$b<2$となるが、自然数$a<c<b$とは両立しない。したがって$a<b$の場合に解はない。

以上より、すべての解は$$(a,b,c)=(k,k,k)(k\text{は自然数})$$である。

(1) ,(2)は解法1と同様に処理する。(3)は$a\leqq b$とし、$a<b$の場合に$c\leqq b-1,c=b,c>b$の三つへ分ける。各場合で$2c!$と$a!+b!$の大小を直接比較し、どの位置にも$c$が存在できないことを示す。

(1) $$\frac{b!}{a!}=(a+1)(a+2)\cdots b$$は因子$b$を含み、他の因子はすべて$1$以上なので$b!\mathrm{/}a!\geqq b$である。

(2)
$2a!=b!$から$a<b$であり、(1)より$$2=\frac{b!}{a!}\geqq b\mathrm{.}$$よって$a<b\leqq 2$から$$(a,b)=(1,2)$$だけである。

(3)
対称性から$a\leqq b$とする。$a=b$なら$a=c$となり、$(a,b,c)=(k,k,k)$を得る。

$a<b$と仮定する。まず$c\leqq b-1$なら$$2c!\leqq 2(b-1)!\leqq b!$$であるが、$a!+b!>b!$なので矛盾する。次に$c=b$なら$a!+b!=2b!$から$a!=b!$となり$a=b$に反する。最後に$c>b$なら$$2c!\geqq 2(b+1)!>2b!$$である一方、$a<b$より$a!+b!<2b!$なので矛盾する。したがって$a<b$に解はない。

よってすべての解は$$(a,b,c)=(k,k,k)(k\text{は自然数})$$である。