問題
座標空間内の3点，，を通る平面をとする。点を通りに垂直な直線と平面との交点をとする。
(1) 点の座標を求めよ。
(2) がすべての実数値をとって変化するときのの最小値が1以下となるようなの条件を求めよ。ただし，は原点である。
方針
解法1（法線ベクトルと点・直線間の距離）
まず と から平面 の法線ベクトルを求める。 を通り に垂直な直線はその法線方向に進むので， となるパラメータを代入すれば が得られる。(2)では が動くときの の軌跡が 平面上の直線 であることを使い，原点からその直線までの距離が1以下となる条件に直す。別解として， を の二次関数として直接最小化してもよい。
解法2（距離の平方を平方完成）
(1)で得た の座標から を の2次関数として表し、平方完成する。最小値が になるため、その平方根が1以下という条件へ直す。幾何の距離公式を使わず、公式の出題意図どおり二次関数の最小値だけで完結する。
解答
解法1（法線ベクトルと点・直線間の距離）
(1)
3点から
である。平面 に垂直なベクトルとして，これらの両方に垂直なベクトルをとる。
実際， かつ であるから， は平面 の法線ベクトルである。
したがって， を通り に垂直な直線は と表される。 平面との交点では だから， より である。よって である。
(2)
がすべての実数値をとるとき， の 平面上の座標は である。したがって は，点 を通り方向ベクトル をもつ直線上を動く。
原点からこの直線までの距離が， の最小値である。点 と方向ベクトル で決まる直線までの原点からの距離は である。したがって， の最小値が1以下となる条件は すなわち である。
条件を 平面に図示すると、2本の平行線にはさまれた閉領域になる。
解法2（距離の平方を平方完成）
(1)
解法1と同様に、平面 の法線ベクトルは である。したがって を通る垂線は
であり、 から を得る。よって
である。
(2)
距離の平方を直接計算すると
したがって のとき
となる。 なので、 の最小値が1以下であるための必要十分条件は
すなわち
である。