九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
3点から$$\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,-2,12),\overrightarrow{AC}=C-A=(0,-2,8)$$である。平面 $\alpha$ に垂直なベクトルとして，これらの両方に垂直なベクトルをとる。

実際，$$(2,4,1)\cdot (-2,-2,12)=-4-8+12=0$$ かつ $$(2,4,1)\cdot (0,-2,8)=0-8+8=0$$ であるから，$(2,4,1)$ は平面 $\alpha$ の法線ベクトルである。

したがって，$P(a,b,t)$ を通り $\alpha$ に垂直な直線は $$(x,y,z)=(a,b,t)+\lambda (2,4,1)$$ と表される。$xy$ 平面との交点では $z=0$ だから，$t+\lambda =0$ より $\lambda =-t$ である。よって $Q=(a-2t,b-4t,0)$ である。

(2)
$t$ がすべての実数値をとるとき，$Q$ の $xy$ 平面上の座標は $$(a-2t,b-4t)=(a,b)-t(2,4)$$ である。したがって $Q$ は，点 $(a,b)$ を通り方向ベクトル $(2,4)$ をもつ直線上を動く。

原点からこの直線までの距離が，$OQ$ の最小値である。点 $(a,b)$ と方向ベクトル $(2,4)$ で決まる直線までの原点からの距離は $$\frac{\mathrm{\mid }2b-4a\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{\mathrm{\mid }2a-b\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}$$ である。したがって，$OQ$ の最小値が1以下となる条件は $\frac{\mathrm{\mid }2a-b\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}\leqq 1$ すなわち $\mathrm{\mid }2a-b\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{5}$ である。

条件を $ab$ 平面に図示すると、2本の平行線にはさまれた閉領域になる。

(1) で得た $Q$ の座標から $O{Q}^2$ を $t$ の2次関数として表し、平方完成する。最小値が $(2a-b{)}^2\mathrm{/}5$ になるため、その平方根が1以下という条件へ直す。幾何の距離公式を使わず、公式の出題意図どおり二次関数の最小値だけで完結する。

(1)
解法1と同様に、平面 $\alpha$ の法線ベクトルは $(2,4,1)$ である。したがって $P$ を通る垂線は$$(x,y,z)=(a,b,t)+\lambda (2,4,1)$$であり、$z=0$ から $\lambda =-t$ を得る。よって$$Q=(a-2t,b-4t,0)$$である。

(2)
距離の平方を直接計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{Q}^2}& {\displaystyle =(a-2t{)}^2+(b-4t{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =20t^2-4(a+2b)t+a^2+b^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =20{(t-\frac{a+2b}{10})}^2+a^2+b^2-\frac{(a+2b{)}^2}{5}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =20{(t-\frac{a+2b}{10})}^2+\frac{(2a-b{)}^2}{5}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $t=(a+2b)\mathrm{/}10$ のとき$$\min O{Q}^2=\frac{(2a-b{)}^2}{5}$$となる。$OQ\geqq 0$ なので、$OQ$ の最小値が1以下であるための必要十分条件は$$\frac{(2a-b{)}^2}{5}\leqq 1,$$すなわち$$\mathrm{\mid }2a-b\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{5}$$である。