九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
円の中心を $O$ とする。$AD$ は直径で，点 $A,B,C,D$ はこの順に円周上にあるので，弧 $AD$ に対応する中心角は $\mathrm{\angle }AOD=\pi$ である。

$AC=CD$ であり，半径1の同じ円で等しい弦は等しい中心角に対応するから，$$\mathrm{\angle }AOC=\mathrm{\angle }COD=\frac{\pi }{2}$$ である。また $AB=BC$ より，同様に $$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }BOC=\frac{\pi }{4}$$ である。

$\mathrm{\angle }ACB$ は弧 $AB$ に対する円周角であり，その弧に対する中心角は $\mathrm{\angle }AOB={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ である。したがって $$\mathrm{\angle }ACB=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOB=\frac{\pi }{8}$$ である。

(2)
弦 $BC$ に対応する中心角は $$\mathrm{\angle }BOC=\frac{\pi }{4}$$ である。半径1の円で中心角 $\theta$ に対応する弦の長さは $2\sin (\theta \mathrm{/}2)$ だから，$$BC=2\sin \frac{\pi }{8}$$ である。半角公式より$${\sin }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$$であり，$\sin (\pi \mathrm{/}8)>0$ だから $$BC=\sqrt{2-\sqrt{2}}$$ である。

(3)
座標を$$A=(-1,0),B=(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}),C=(0,-1),D=(1,0)$$とおく。この配置は，$A,B,C,D$ が円周上に反時計回りに並び，上で求めた中心角を満たしている。

直線 $AC$ は，$A(-1,0)$ と $C(0,-1)$ を通るので $y=-x-1$ である。直線 $BD$ は，$B(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$ と $D(1,0)$ を通る。交点 $E$ を求めると $E=(1-\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$ である。実際，この点は $y=-x-1$ を満たし，かつ直線 $BD$ 上にもある。

三角形 $BCE$ の面積を，$C$ を基準にした2つのベクトル$$\overrightarrow{CB}=(-\frac{\sqrt{2}}{2},1-\frac{\sqrt{2}}{2}),\overrightarrow{CE}=(1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$$で計算する。面積は$$\frac{1}{2}\mid (-\frac{\sqrt{2}}{2})(-1+\sqrt{2})-(1-\frac{\sqrt{2}}{2})(1-\sqrt{2})\mid$$である。中を整理すると $\mathrm{\mid }-3+2\sqrt{2}\mathrm{\mid }=3-2\sqrt{2}$ なので，面積は $$\frac{1}{2}(3-2\sqrt{2})=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$$ である。

したがって，三角形 $BCE$ の面積は $\frac{3}{2}-\sqrt{2}$ である。

中心角と2本の弦の交点を図示すると次のようになる。

等しい弦から中心角を決め、(1)(2)を処理する。(3)では交差する2本の弦が作る相似を2組用いて $BE\mathrm{/}ED=AB\cdot BC\mathrm{/}(AD\cdot CD)$ を導く。三角形 $BCE$ と $BCD$ は $C$ から直線 $BD$ への高さが共通なので、面積比を $BE\mathrm{/}BD$ に置き換える。

(1)
円の中心を $O$ とする。$AD$ は直径だから $\mathrm{\angle }AOD=\pi$ である。$AC=CD$ より$$\mathrm{\angle }AOC=\mathrm{\angle }COD=\frac{\pi }{2},$$さらに $AB=BC$ より$$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }BOC=\frac{\pi }{4}$$である。円周角の定理から$$\mathrm{\angle }ACB=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOB=\frac{\pi }{8}$$を得る。

(2)
中心角 $\mathrm{\angle }BOC=\pi \mathrm{/}4$ に対する弦だから$$BC=2\sin \frac{pi}{8}=\sqrt{2-\sqrt{2}}$$である。

(3)
まず弦 $CD$ は中心角 $\pi \mathrm{/}2$ に対するので $CD=\sqrt{2}$ であり、$AD=2$ である。また $AB=BC=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ である。

$E=AC\cap BD$ とする。三角形 $BCE$ と $ADE$、三角形 $ABE$ と $DCE$ は、それぞれ円周角と対頂角により相似である。したがって$$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD},\frac{AE}{ED}=\frac{AB}{CD}$$であり、辺々を掛けて$$\frac{BE}{ED}=\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot CD}=\frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$$を得る。よって$$\frac{BE}{BD}=\frac{BE\mathrm{/}ED}{1+BE\mathrm{/}ED}=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$一方、三角形 $BCD$ について$$\mathrm{\angle }BCD=\frac{5\pi }{8}$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [BCD]}& {\displaystyle =\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin \frac{5\pi }{8}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$三角形 $BCE$ と $BCD$ は $C$ から直線 $BD$ への高さが共通なので$$\frac{[BCE]}{[BCD]}=\frac{BE}{BD}=3-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$したがって$$[BCE]=\frac{1}{2}(3-2\sqrt{2})=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$$である。