問題
半径1の円周上に反時計回りに点を順にとり，線分は直径で，，が成り立つとする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) 線分と線分の交点をとするとき，三角形の面積を求めよ。
方針
解法1（中心角を決めて座標計算）
半径1の円で，等しい弦は等しい中心角に対応する。 が直径なので半円の中心角は であり， から ，さらに から とわかる。(1)(2)は円周角と弦長公式で処理する。(3)は単位円上に と座標を置き，直線 と の交点 を求め，底辺・高さまたは行列式で三角形 の面積を計算する。
解法2（相似と弦の比で面積を求める）
等しい弦から中心角を決め、(1)(2)を処理する。(3)では交差する2本の弦が作る相似を2組用いて を導く。三角形 と は から直線 への高さが共通なので、面積比を に置き換える。
解答
解法1（中心角を決めて座標計算）
(1)
円の中心を とする。 は直径で，点 はこの順に円周上にあるので，弧 に対応する中心角は である。
であり，半径1の同じ円で等しい弦は等しい中心角に対応するから， である。また より，同様に である。
は弧 に対する円周角であり，その弧に対する中心角は である。したがって である。
(2)
弦 に対応する中心角は である。半径1の円で中心角 に対応する弦の長さは だから， である。半角公式より
であり， だから である。
(3)
座標を
とおく。この配置は， が円周上に反時計回りに並び，上で求めた中心角を満たしている。
直線 は， と を通るので である。直線 は， と を通る。交点 を求めると である。実際，この点は を満たし，かつ直線 上にもある。
三角形 の面積を， を基準にした2つのベクトル
で計算する。面積は
である。中を整理すると なので，面積は である。
したがって，三角形 の面積は である。
中心角と2本の弦の交点を図示すると次のようになる。
解法2（相似と弦の比で面積を求める）
(1)
円の中心を とする。 は直径だから である。 より
さらに より
である。円周角の定理から
を得る。
(2)
中心角 に対する弦だから
である。
(3)
まず弦 は中心角 に対するので であり、 である。また である。
とする。三角形 と 、三角形 と は、それぞれ円周角と対頂角により相似である。したがって
であり、辺々を掛けて
を得る。よって
一方、三角形 について
だから
三角形 と は から直線 への高さが共通なので
したがって
である。