九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
$y=\tan x$ であるから，$$\frac{dy}{dx}=1+{\tan }^{2}x$$ である。したがって $y$ を用いると $$\frac{dy}{dx}=1+y^2$$ である。

(2)
$y=\tan x$ とおく。(1)より $$dx=\frac{dy}{1+y^2}$$ である。また，$x=0$ のとき $y=0$，$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ のとき $y=1$ である。

したがって，求める積分を $I$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\int }_0^1\frac{y^4-y^2-2}{(y^2-4)(1+y^2)}dy\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$y^4-y^2-2=(y^2-2)(y^2+1)$$ であるから，$$I={\int }_0^1\frac{y^2-2}{y^2-4}dy$$ となる。さらに $$\frac{y^2-2}{y^2-4}=1+\frac{2}{y^2-4}$$ である。

部分分数分解すると$$\frac{2}{y^2-4}=\frac{2}{(y-2)(y+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2})$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\int }_0^1\{1+\frac{1}{2}(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2})\}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[y+\frac{1}{2}\log \mathrm{\mid }y-2\mathrm{\mid }-\frac{1}{2}\log \mathrm{\mid }y+2\mathrm{\mid }]}_0^1\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $0\leqq y\leqq 1$ では $y-2<0$，$y+2>0$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle =1+\frac{1}{2}(\log 1-\log 3)-\frac{1}{2}(\log 2-\log 2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\frac{1}{2}\log 3.}\end{array}$$よって求める値は $1-\frac{1}{2}\log 3$ である。