九州大学 2026年度文系数学第1問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 1$ が極値をとるときの $x$ の値を求めよ。また，そのときの極値を求めよ。

(2) 座標平面上の曲線 $C : y = ∣ x^{2} - 1∣$ と，点 $(- 1, 0)$ を通る傾き1の直線 $l$ を考える。 $C$ と $l$ で囲まれる領域の面積を求めよ。

出典：九州大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

(1) は導関数を因数分解し，符号表で極大・極小を判定する。値の代入まで行い，極値をとる $x$ と極値を対応させる。(2) は直線を $y = x + 1$ とし， $∣ x^{2} - 1∣$ を $- 1 ≦ x ≦ 1$ とそれ以外で分ける。交点は $x = - 1, 0, 2$ で， $[- 1, 0]$ ， $[0, 1]$ ， $[1, 2]$ では上下が変わるので，それぞれの上下差を正にして積分する。

解答

(1)

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x - 36 = 6 (x + 3) (x - 2) .

したがって $f^{'} (x)$ の符号は， $x < - 3$ で正， $- 3 < x < 2$ で負， $x > 2$ で正である。よって $x = - 3$ で極大， $x = 2$ で極小となる。さらに

f (- 3) = 82, f (2) = - 43

だから，極大値は82，極小値は $- 43$ である。

(2)

直線は $l : y = x + 1$ であり，曲線は

∣ x^{2} - 1∣ = {1 - x^{2} x^{2} - 1 (- 1 ≦ x ≦ 1), (x ≦ - 1 または x ≧ 1)

と表される。交点の $x$ 座標は

1 - x^{2} = x + 1 ⟹ x = - 1, 0, x^{2} - 1 = x + 1 ⟹ x = - 1, 2

である。各区間で上下を確認すると，求める面積は

S = \int_{- 1}^{0} (- x^{2} - x) d x + \int_{0}^{1} (x + x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = \frac{13}{6} .

九州大学 2026年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2026年度
文系数学第1問