九州大学 2026年度文系数学第3問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $2$ が無理数であることを示せ。

(2) $n$ を自然数とする。 $(2 + 1)^{n} + (2 - 1)^{n}$ が整数となるための， $n$ がみたすべき必要十分条件を求めよ。

出典：九州大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1

(1) は $2 = p / q$ と仮定し，互いに素な整数表示から偶奇の矛盾を出す。(2) は二項定理で $(2 + 1)^{n} + (2 - 1)^{n}$ を展開し， $1^{j} + (- 1)^{j}$ により偶数番目の項だけが残ることを見る。 $n$ が偶数なら残る $(2)^{n - j}$ は整数， $n$ が奇数なら全体が $2$ の正の整数倍になるため，(1) を使って整数でないと示す。

解法2（共役な数列の漸化式を用いる方法）

$α = 1 + 2$ ， $β = 1 - 2$ とおく。偶数乗では与式が $α^{n} + β^{n}$ ，奇数乗では $α^{n} - β^{n}$ になる。和と差を $α + β = 2$ ， $α β = - 1$ から得られる整数係数漸化式で判定する。

解答

解法1

(1)

$2$ が有理数であると仮定する。このとき，互いに素な自然数 $p, q$ を用いて $2 = \frac{p}{q}$ と表せる。両辺を2乗すると $2 = \frac{p ^{2}}{q ^{2}}$ であるから $p^{2} = 2 q^{2}$ となる。したがって $p^{2}$ は偶数であり， $p$ も偶数である。そこで $p = 2 p_{1}$ とおくと $4 p_{1}^{2} = 2 q^{2}$ より $q^{2} = 2 p_{1}^{2}$ である。よって $q^{2}$ も偶数であり， $q$ も偶数である。これは $p, q$ が互いに素であることに反する。したがって $2 は無理数である$ ことが示された。

(2)

二項定理より $(2 + 1)^{n} = \sum_{j = 0}^{n}_{n} C_{j} (2)^{n - j}$ であり，また $(2 - 1)^{n} = \sum_{j = 0}^{n}_{n} C_{j} (2)^{n - j} (- 1)^{j}$ である。したがって和をとると

(2 + 1)^{n} + (2 - 1)^{n} = j = 0 \sum n_{n} C_{j} (2)^{n - j} {1 + (- 1)^{j}}

である。ここで $j$ が奇数のときは $1 + (- 1)^{j} = 0$ ， $j$ が偶数のときは $1 + (- 1)^{j} = 2$ である。よって偶数の $j$ に対応する項だけが残る。 $n$ が偶数のとき，残る項では $j$ も偶数なので， $n - j$ は偶数である。したがって $(2)^{n - j} = 2^{(n - j) /2}$ は整数であり，各項は整数である。よって全体も整数である。

次に $n$ が奇数のときを考える。このとき，残る項では $j$ が偶数であるから， $n - j$ は奇数である。よって各項は $_{n} C_{j} (2)^{n - j} \cdot 2 = 2 \times {正の整数}$ の形である。残る各項の係数はすべて正なので，和は $2 M$ と表せる。ただし $M$ は正の整数である。もしこの値が整数なら， $2 = \frac{2 M}{M}$ となり， $2$ が有理数になってしまう。これは (1) に反する。したがって $n$ が奇数のときは整数ではない。

以上より，必要十分条件は $n が偶数であること$ である。

解法2（共役な数列の漸化式を用いる方法）

(1)

$2 = p / q$ とし， $p, q$ を互いに素な自然数と仮定する。 $p^{2} = 2 q^{2}$ より $p$ は偶数である。 $p = 2 p_{1}$ とおけば $q^{2} = 2 p_{1}^{2}$ となり， $q$ も偶数である。これは互いに素という仮定に反するから， $2$ は無理数である。

(2)

α = 1 + 2, β = 1 - 2

とおくと， $α + β = 2$ ， $α β = - 1$ である。したがって $α, β$ はともに

u^{2} = 2 u + 1

を満たす。

$S_{n} = α^{n} + β^{n}$ とおくと

S_{n + 2} = 2 S_{n + 1} + S_{n}, S_{0} = 2, S_{1} = 2

であるから，すべての $S_{n}$ は整数である。また

D_{n} = \frac{α ^{n} - β ^{n}}{α - β}

とおくと，同様に

D_{n + 2} = 2 D_{n + 1} + D_{n}, D_{0} = 0, D_{1} = 1

であり， $n ≧ 1$ では $D_{n}$ は正の整数である。

ここで $2 - 1 = - β$ だから，与式を $E_{n}$ とすれば， $n$ が偶数のとき

E_{n} = α^{n} + β^{n} = S_{n} \in Z .

$n$ が奇数のときは

E_{n} = α^{n} - β^{n} = (α - β) D_{n} = 22 D_{n} .

$2 D_{n}$ は0でない整数であり， $2$ は無理数だから，この値は整数ではない。よって必要十分条件は

n が偶数であること

である。

九州大学 2026年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（共役な数列の漸化式を用いる方法）

解答

解法1

(1)

(2)

解法2（共役な数列の漸化式を用いる方法）

(1)

(2)

九州大学 2026年度
文系数学第3問