九州大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。このとき，互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$$ と表せる。両辺を2乗すると $$2=\frac{p^2}{q^2}$$ であるから $p^2=2q^2$ となる。したがって $p^2$ は偶数であり，$p$ も偶数である。そこで $p=2p_1$ とおくと $4p_1^2=2q^2$ より $q^2=2p_1^2$ である。よって $q^2$ も偶数であり，$q$ も偶数である。これは $p,q$ が互いに素であることに反する。したがって $\sqrt{2}\text{ は無理数である}$ ことが示された。

(2)
二項定理より $$(\sqrt{2}+1{)}^n=\sum _{j=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_j(\sqrt{2}{)}^{n-j}$$ であり，また $$(\sqrt{2}-1{)}^n=\sum _{j=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_j(\sqrt{2}{)}^{n-j}(-1{)}^j$$ である。したがって和をとると$$(\sqrt{2}+1{)}^n+(\sqrt{2}-1{)}^n=\sum _{j=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_j(\sqrt{2}{)}^{n-j}\{1+(-1{)}^j\}$$である。ここで $j$ が奇数のときは $1+(-1{)}^j=0$，$j$ が偶数のときは $1+(-1{)}^j=2$ である。よって偶数の $j$ に対応する項だけが残る。 $n$ が偶数のとき，残る項では $j$ も偶数なので，$n-j$ は偶数である。したがって $$(\sqrt{2}{)}^{n-j}=2^{(n-j)\mathrm{/}2}$$ は整数であり，各項は整数である。よって全体も整数である。

次に $n$ が奇数のときを考える。このとき，残る項では $j$ が偶数であるから，$n-j$ は奇数である。よって各項は $${}_n{\mathrm{C}}_j(\sqrt{2}{)}^{n-j}\cdot 2=\sqrt{2}\times \{\text{正の整数}\}$$ の形である。残る各項の係数はすべて正なので，和は $\sqrt{2}M$ と表せる。ただし $M$ は正の整数である。もしこの値が整数なら，$$\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}M}{M}$$ となり，$\sqrt{2}$ が有理数になってしまう。これは (1) に反する。したがって $n$ が奇数のときは整数ではない。

以上より，必要十分条件は $n\text{ が偶数であること}$ である。

$\alpha =1+\sqrt{2}$，$\beta =1-\sqrt{2}$ とおく。偶数乗では与式が ${\alpha }^n+{\beta }^n$，奇数乗では ${\alpha }^n-{\beta }^n$ になる。和と差を $\alpha +\beta =2$，$\alpha \beta =-1$ から得られる整数係数漸化式で判定する。

(1)
$\sqrt{2}=p\mathrm{/}q$ とし，$p,q$ を互いに素な自然数と仮定する。$p^2=2q^2$ より $p$ は偶数である。$p=2p_1$ とおけば $q^2=2p_1^2$ となり，$q$ も偶数である。これは互いに素という仮定に反するから，$\sqrt{2}$ は無理数である。

(2) $$\alpha =1+\sqrt{2},\beta =1-\sqrt{2}$$とおくと，$\alpha +\beta =2$，$\alpha \beta =-1$ である。したがって $\alpha ,\beta$ はともに$$u^2=2u+1$$を満たす。

$S_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおくと$$S_{n+2}=2S_{n+1}+S_n,S_0=2,S_1=2$$であるから，すべての $S_n$ は整数である。また$$D_n=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\alpha -\beta }$$とおくと，同様に$$D_{n+2}=2D_{n+1}+D_n,D_0=0,D_1=1$$であり，$n\geqq 1$ では $D_n$ は正の整数である。

ここで $\sqrt{2}-1=-\beta$ だから，与式を $E_n$ とすれば，$n$ が偶数のとき$$E_n={\alpha }^n+{\beta }^n=S_n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$$n$ が奇数のときは$$E_n={\alpha }^n-{\beta }^n=(\alpha -\beta )D_n=2\sqrt{2}{D}_n\mathrm{.}$$$2D_n$ は0でない整数であり，$\sqrt{2}$ は無理数だから，この値は整数ではない。よって必要十分条件は$$n\text{ が偶数であること}$$である。