九大 2026年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

まず $\vec{A B}, \vec{A C}$ から平面 $α$ の法線ベクトルを求め，平面方程式を出す。直線 $O P$ が $α$ に直交するので， $P$ はその法線ベクトルの実数倍で表せる。球面条件で候補を2つ出し， $y ≦ - 1$ で選ぶ。(2) では垂線の足 $H$ が同じ直線 $O P$ と $α$ の交点であることを使い，最後に $\vec{O A} + s \vec{A B} + t \vec{A C}$ の係数比較を行う。体積は底面 $A B C$ の面積と， $P$ から $α$ までの距離で求める。

解答

(1) $\vec{A B} = B - A = (1, 1, - 1), \vec{A C} = C - A = (3, 1, 1)$ である。平面 $α$ に垂直なベクトルを $(l, m, n)$ とすると， $l + m - n = 0, 3 l + m + n = 0$ を満たせばよい。この連立条件から，例えば $(l, m, n) = (1, - 2, - 1)$ をとることができる。したがって $α$ は点 $A (1, 1, 1)$ を通り，法線ベクトル $(1, - 2, - 1)$ をもつ平面であるから $(x - 1) - 2 (y - 1) - (z - 1) = 0$ すなわち $α : x - 2 y - z + 2 = 0$ である。

直線 $O P$ は $α$ と直交するので， $O P$ の方向はこの法線方向である。よって $P = λ (1, - 2, - 1)$ とおける。これを球面 $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1$ に代入すると $(λ - 1)^{2} + (- 2 λ + 1)^{2} + (- λ + 1)^{2} = 1$ である。整理して $6 λ^{2} - 8 λ + 2 = 0$ すなわち $3 λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$ を得る。よって $(3 λ - 1) (λ - 1) = 0$ より $λ = \frac{1}{3}, λ = 1$ である。点 $P$ の $y$ 座標は $- 2 λ$ であり，これが $- 1$ 以下であるから $- 2 λ ≦ - 1 ⟺ λ ≧ \frac{1}{2}$ である。したがって $λ = 1$ を選び， $P = (1, - 2, - 1)$ である。

(2) $P$ から $α$ に下ろした垂線は直線 $O P$ と同じ方向である。したがって垂線の足 $H$ は，直線 $O P$ と平面 $α$ の交点である。 $H = μ (1, - 2, - 1)$ とおくと， $H$ が $α$ 上にあることから $μ - 2 (- 2 μ) - (- μ) + 2 = 0$ すなわち $6 μ + 2 = 0$ である。よって $μ = - \frac{1}{3}$ となり， $H = (- \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ である。

一方， $\vec{O A} + s \vec{A B} + t \vec{A C} = (1, 1, 1) + s (1, 1, - 1) + t (3, 1, 1)$ であるから $\vec{O A} + s \vec{A B} + t \vec{A C} = (1 + s + 3 t, 1 + s + t, 1 - s + t)$ である。これが $\vec{O H}$ に等しいので ${\begin{cases} 1 + s + 3 t = - \frac{1}{3}, \\ 1 + s + t = \frac{2}{3}, \\ 1 - s + t = \frac{1}{3} \end{cases}$ を得る。第1式から第2式を引くと $2 t = - 1$ より $t = - \frac{1}{2}$ である。これを第2式に代入して $1 + s - \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ より $s = \frac{1}{6}$ である。したがって $s = \frac{1}{6}, t = - \frac{1}{2}$ である。

(3)
三角形 $A B C$ の面積を求める。 $\vec{A B}$ と $\vec{A C}$ に垂直なベクトルとして $(2, - 4, - 2) = 2 (1, - 2, - 1)$ がとれるので，平行四辺形の面積は $\sqrt{2^{2} + (- 4)^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ である。したがって三角形 $A B C$ の面積は $\sqrt{6}$ である。

次に，点 $P (1, - 2, - 1)$ から平面 $α : x - 2 y - z + 2 = 0$ までの距離は $\frac{∣ 1 - 2 (- 2) - (- 1) + 2 ∣}{\sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2}}} = \frac{8}{\sqrt{6}}$ である。よって四面体 $A B C P$ の体積は $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{8}{\sqrt{6}} = \frac{8}{3}$ である。

総評

難度5，計算量5。想定時間は22分程度。法線ベクトル $(1, - 2, - 1)$ を最初に固定すると，平面方程式，点 $P$ ，垂線の足 $H$ ，高さが同じ軸で処理できる。球面との交点は $λ = 1 / 3, 1$ の2候補が出るため， $y ≦ - 1$ で $P = (1, - 2, - 1)$ を選ぶ過程が必須である。(2) では $P$ が直線 $O P$ 上にあり，垂線も同じ法線方向なので，その直線自体が $P H$ であることを明記する。体積は底面積と高さの方法に加え， $\frac{1}{6} ∣ \det (\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A P}) ∣ = 8 / 3$ でも独立に確認できる。典型的な失点は三角形面積の係数 $1 / 2$ と四面体の係数 $1 / 3$ の取り違えである。

出典: 九州大学令和8年度一般選抜（前期日程）数学（文科系・公式問題）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

方針

解答

総評

九州大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系数学第2問