九大 2026年度理系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

平面が直線 $O P$ に直交するため，球との断面円の中心は直線 $O P$ 上にある。球の中心から断面円の中心までの距離は，球の半径3と断面円の半径1から三平方の定理で求める。(2) では2つの円を底面とする円柱の軸が直線 $O P$ ，半径が1であることを使い，平面 $z = 0$ 上の点 $(x, y, 0)$ から軸までの距離が1である条件を式にする。最後に楕円の頂点を示して図示内容を明確にする。

解答

(1) $\vec{O P} = (1, 0, \sqrt{3}), ∣ \vec{O P} ∣ = \sqrt{1 + 3} = 2$ である。平面 $T_{1}, T_{2}$ は直線 $O P$ と直交しているので，球 $S$ との共通部分である円 $C_{1}, C_{2}$ の中心は直線 $O P$ 上にある。

球 $S$ の半径は $3$ であり，断面円の半径は $1$ である。球の中心 $O$ から断面円の中心までの距離を $d$ とすると，直角三角形より $d^{2} + 1^{2} = 3^{2}$ だから $d = 2 \sqrt{2}$ である。直線 $O P$ の単位方向ベクトルは $\frac{1}{2} (1, 0, \sqrt{3})$ であるから，円の中心の候補は $\pm 2 \sqrt{2} \cdot \frac{(1, 0, \sqrt{3})}{2} = \pm (\sqrt{2}, 0, \sqrt{6})$ である。 $C_{1}$ の中心の $z$ 座標は正， $C_{2}$ の中心の $z$ 座標は負なので， $C_{1} の中心 (\sqrt{2}, 0, \sqrt{6}), C_{2} の中心 (- \sqrt{2}, 0, - \sqrt{6})$ である。

(2)
2つの円 $C_{1}, C_{2}$ を底面とする円柱は，軸が直線 $O P$ ，半径が $1$ の円柱である。平面 $z = 0$ 上の点を $X = (x, y, 0)$ とする。点 $X$ から直線 $O P$ までの距離が $1$ であることが，切り口の条件である。

直線 $O P$ の方向ベクトルを $v = (1, 0, \sqrt{3})$ とおくと， $∣ v ∣^{2} = 4$ である。点 $X$ の位置ベクトルを同じく $X = (x, y, 0)$ と書けば， $X$ のうち軸方向成分の長さの2乗は $\frac{(X \cdot v)^{2}}{∣ v ∣^{2}} = \frac{x^{2}}{4}$ である。したがって，軸からの距離の2乗は $∣ X ∣^{2} - \frac{(X \cdot v)^{2}}{∣ v ∣^{2}} = x^{2} + y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = \frac{3}{4} x^{2} + y^{2}$ である。これが $1$ に等しいので，切り口の曲線は $\frac{3}{4} x^{2} + y^{2} = 1$ である。

これは平面 $z = 0$ 上の楕円であり， $\frac{x^{2}}{4 / 3} + y^{2} = 1$ と書ける。したがって $x$ 軸方向の半径は $2 / \sqrt{3}$ ， $y$ 軸方向の半径は $1$ である。図示すると，中心は原点，頂点は $(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}, 0), (0, \pm 1)$ で， $x$ 軸方向に少し長い楕円である。

実際の切り口は次の楕円である。

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総評

難度5，計算量4。想定時間は18分程度。(1) は断面円の中心が球の中心から平面へ下ろした垂線の足，すなわち軸 $O P$ 上にあることを使い， $d^{2} + 1^{2} = 3^{2}$ から中心までの距離 $2 \sqrt{2}$ を得る。(2) は円柱側面を「軸からの距離が1の点」と見て，平面 $z = 0$ 上で $\frac{3}{4} x^{2} + y^{2} = 1$ を導く。図示では中心，4頂点，長軸・短軸を実図に反映した。有限な円柱側面である点についても，楕円上の各点の軸への射影が2底面の間に入るため切り口全体が有効である。典型的な失点は $∣ O P ∣ = 2$ による射影の分母4を落とすことである。

出典: 九州大学令和8年度一般選抜（前期日程）数学（理科系・公式問題）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

方針

解答

総評

九州大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系数学第1問