九州大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
与えられた方程式 $z^2-wz+1=0$ について，問題の範囲では $t>0$ なので $z=t+ti\mathrm{\ne }0$ である。したがって両辺を $z$ で割って $w=z+\frac{1}{z}$ を得る。ここで $z=t(1+i)$ だから $$\frac{1}{z}=\frac{1}{t(1+i)}=\frac{1-i}{2t}$$ である。$w=X+Yi$ とおくと $$X=t+\frac{1}{2t},Y=t-\frac{1}{2t}$$ である。よって $$X+Y=2t,X-Y=\frac{1}{t}$$ となり，これらを掛けて $X^2-Y^2=2$ を得る。

次に端点を求める。$t=(1+\sqrt{3})\mathrm{/}2$ のとき $$2t=1+\sqrt{3},\frac{1}{t}=\sqrt{3}-1$$ であるから $$X=\frac{(X+Y)+(X-Y)}{2}=\sqrt{3},Y=\frac{(X+Y)-(X-Y)}{2}=1$$ である。したがって $P_1=(\sqrt{3},1)$ である。また，$t=(-1+\sqrt{3})\mathrm{/}2$ のとき $$2t=\sqrt{3}-1,\frac{1}{t}=\sqrt{3}+1$$ より $P_2=(\sqrt{3},-1)$ である。

さらに $t>0$ なので $X+Y=2t>0$，$X-Y=1\mathrm{/}t>0$ であり，特に $X>0$ である。したがって軌跡 $C$ は，双曲線 $X^2-Y^2=2$ の右側の枝のうち，端点 $P_2=(\sqrt{3},-1)$ から $P_1=(\sqrt{3},1)$ までの部分である。すなわち $$X=\sqrt{Y^2+2},-1\leqq Y\leqq 1$$ と表される曲線である。図示では，右に開く双曲線の枝を $Y=-1$ から $Y=1$ まで切り取った弧として描けばよい。

軌跡と2本の線分は次のようになる。網掛け部分が (2) で回転させる領域である。

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(2)
求める領域は，$-1\leqq Y\leqq 1$ において，右側が双曲線 $$X=\sqrt{Y^2+2}$$ である。左側の境界は線分 $O{P}_1$ と線分 $O{P}_2$ である。$0\leqq Y\leqq 1$ では線分 $O{P}_1$ 上にあり，その式は $X=\sqrt{3}Y$ である。$-1\leqq Y\leqq 0$ では線分 $O{P}_2$ 上にあり，その式は $X=-\sqrt{3}Y$ である。したがってまとめて $X=\sqrt{3}\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }$ と書ける。

この領域を虚軸，すなわち $Y$ 軸のまわりに1回転する。高さ $Y$ の断面は，外半径 $$R(Y)=\sqrt{Y^2+2}$$ 内半径 $r(Y)=\sqrt{3}\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }$ の円環である。したがって体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-1}^1\{R(Y{)}^2-r(Y{)}^2\}dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_{-1}^1\{(Y^2+2)-3Y^2\}dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_{-1}^1(2-2Y^2)dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {\int }_{-1}^1(1-Y^2)dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {[Y-\frac{Y^3}{3}]}_{-1}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{8\pi }{3}\mathrm{.}}\end{array}$$